Khảo sát hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d: các bước, bảng biến thiên, đồ thị và bài tập có đáp án

Q: Khi nào hàm bậc ba có cực trị?

Khi $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Q: Dùng đồ thị biện luận số nghiệm thế nào?

Đếm giao điểm với đường thẳng $y = m$.

Khảo sát hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d: tập xác định, đạo hàm, cực trị, bảng biến thiên, tâm đối xứng và các dạng đồ thị theo dấu của a và biệt thức của y'. Ví dụ khảo sát y = x³ − 3x² + 2 và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Khảo sát hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d: các bước, bảng biến thiên, đồ thị và bài tập có đáp án$

Khảo sát hàm số bậc ba

Khảo sát hàm số bậc ba $y = ax^3 + bx^2 + cx + d$ ($a \neq 0$) là bài toán cơ bản của chương. Hàm số xác định trên $\mathbb{R}$, đồ thị có một tâm đối xứng là điểm uốn. Dạng đồ thị phụ thuộc vào dấu của $a$ và số nghiệm của $y' = 3ax^2 + 2bx + c = 0$.

Các dạng đồ thị

$y'$	$a > 0$	$a < 0$
Có hai nghiệm phân biệt	Đồng biến - nghịch biến - đồng biến (có cực đại, cực tiểu)	Nghịch biến - đồng biến - nghịch biến
Vô nghiệm hoặc nghiệm kép	Luôn đồng biến	Luôn nghịch biến

Xem bài: Sơ đồ khảo sát hàm số

Ví dụ: khảo sát y = x³ − 3x² + 2

Lời giải

1) Tập xác định $\mathbb{R}$.
2) $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$, $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$. Hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 2)$. Cực đại $y(0) = 2$, cực tiểu $y(2) = -2$. $\lim_{x \to +\infty} y = +\infty$, $\lim_{x \to -\infty} y = -\infty$.
3) $y'' = 6x - 6 = 0 \Leftrightarrow x = 1$; tâm đối xứng (điểm uốn) $I(1; 0)$. Đồ thị cắt $Oy$ tại $(0; 2)$, đi qua $(1; 0)$, $(2; -2)$, $(3; 2)$.

$x$	$-\infty$	$0$	$2$	$+\infty$
$y'$	$+$	$0$	$0$	$+$
$y$	$-\infty$	$2$	$-2$	$+\infty$

Xem bài: Khảo sát hàm số phân thức bậc nhất trên bậc nhất

Số nghiệm của phương trình bậc ba

Số nghiệm của $f(x) = m$ bằng số giao điểm của đồ thị $y = f(x)$ với đường thẳng $y = m$. Với ví dụ trên: $m > 2$ hoặc $m < -2$ có $1$ nghiệm; $m = \pm 2$ có $2$ nghiệm; $-2 < m < 2$ có $3$ nghiệm.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Khảo sát hàm số $y = x^3 - 3x$ (nêu cực trị và điểm uốn).
Tìm tâm đối xứng của $y = x^3 - 3x^2 + 1$.
Hàm số $y = -x^3 + 3x - 2$ có cực đại tại điểm nào?
Phương trình $x^3 - 3x = m$ có ba nghiệm phân biệt khi nào?
Hàm bậc ba có thể không có cực trị không?

Đáp án

$y' = 3x^2 - 3$: cực đại $(-1; 2)$, cực tiểu $(1; -2)$; $y'' = 6x$ nên điểm uốn $(0; 0)$.
$y'' = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$, $y(1) = -1$: tâm $(1; -1)$.
$y' = -3x^2 + 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$; cực đại tại $x = 1$ ($y = 0$).
Khi $-2 < m < 2$.
Có, khi $y' \geq 0$ (hoặc $\leq 0$) với mọi $x$.