Sơ đồ khảo sát hàm số: các bước khảo sát và vẽ đồ thị, bảng biến thiên và bài tập có đáp án Toán lớp 12

Sơ đồ khảo sát hàm số gồm các bước: tập xác định, sự biến thiên (đạo hàm, cực trị, giới hạn, tiệm cận, bảng biến thiên), đồ thị (giao điểm với trục, điểm đặc biệt, tính đối xứng). Ví dụ khảo sát hàm bậc hai và bài tập có đáp án.

$Sơ đồ khảo sát hàm số: các bước khảo sát và vẽ đồ thị, bảng biến thiên và bài tập có đáp án Toán lớp 12$

Sơ đồ khảo sát hàm số

Sơ đồ khảo sát hàm số là quy trình chuẩn gồm ba phần: tìm tập xác định, khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị. Nắm chắc sơ đồ này giúp bạn khảo sát bất kì hàm số nào, từ hàm bậc ba đến hàm phân thức.

Các bước khảo sát

Tập xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn (nếu có).
Sự biến thiên: tính $y'$, tìm nghiệm của $y' = 0$, xét dấu $y'$; giới hạn tại vô cực và tại các điểm gián đoạn; tiệm cận; lập bảng biến thiên; nêu cực trị.
Đồ thị: giao điểm với $Oy$ ($x = 0$) và $Ox$ ($y = 0$), thêm vài điểm đặc biệt, nhận xét tính đối xứng; vẽ đồ thị.

Xem bài: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Ví dụ: khảo sát y = x² − 4x + 3

Lời giải

1) Tập xác định $\mathbb{R}$.
2) $y' = 2x - 4$, $y' = 0 \Leftrightarrow x = 2$. $y' < 0$ khi $x < 2$, $y' > 0$ khi $x > 2$. Hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 2)$, đồng biến trên $(2; +\infty)$, cực tiểu $y(2) = -1$. $\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty$.
3) Đồ thị: cắt $Oy$ tại $(0; 3)$, cắt $Ox$ tại $(1; 0)$ và $(3; 0)$; đối xứng qua đường thẳng $x = 2$.

Đồ thị là parabol bề lõm lên trên, đỉnh $(2; -1)$.

$x$	$-\infty$	$2$	$+\infty$
$y'$	$-$	$0$	$+$
$y$	$+\infty$	$-1$	$+\infty$

Xem bài: Khảo sát hàm số bậc ba

Lưu ý khi vẽ đồ thị

Vẽ tiệm cận bằng nét đứt.
Đánh dấu cực trị và giao điểm với hai trục.
Với đồ thị đối xứng, vẽ một phần rồi lấy đối xứng.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Khảo sát và nêu cực trị của $y = -x^2 + 2x$.
Tìm giao điểm của $y = x^2 - 4x + 3$ với hai trục.
Lập bảng biến thiên của $y = x^2 - 2x$.
Hàm bậc hai có đồ thị đối xứng qua đường nào?
Nêu ba phần chính của sơ đồ khảo sát.

Đáp án

$y' = -2x + 2$, cực đại $y(1) = 1$.
$Oy$: $(0; 3)$; $Ox$: $(1; 0)$, $(3; 0)$.
$y' = 2x - 2$; nghịch biến $(-\infty; 1)$, đồng biến $(1; +\infty)$, cực tiểu $y(1) = -1$.
Đường thẳng $x = -\dfrac{b}{2a}$.
Tập xác định, sự biến thiên, đồ thị.