Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên và bài tập có đáp án

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số gồm tiệm cận ngang y = L khi x → ±∞, tiệm cận đứng x = x₀ khi f(x) → ±∞ và tiệm cận xiên y = ax + b. Cách tìm bằng giới hạn, ví dụ hàm phân thức và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Đường tiệm cận của đồ thị hàm số: tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên và bài tập có đáp án$

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Đường tiệm cận của đồ thị hàm số là đường thẳng mà đồ thị tiến sát vô hạn khi điểm trên đồ thị ra xa vô cực. Có ba loại: tiệm cận ngang $y = L$ khi $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = L$; tiệm cận đứng $x = x_0$ khi $\lim_{x \to x_0^{\pm}} f(x) = \pm\infty$; tiệm cận xiên $y = ax + b$.

Ba loại tiệm cận

Loại	Điều kiện
Ngang $y = L$	$\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$
Đứng $x = x_0$	Một trong $\lim_{x \to x_0^+} f$, $\lim_{x \to x_0^-} f$ bằng $\pm\infty$
Xiên $y = ax + b$	$\lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - (ax + b)] = 0$, với $a = \lim \dfrac{f(x)}{x}$, $b = \lim [f(x) - ax]$

Xem bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Ví dụ

Ví dụ 1

$y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$: $\lim_{x \to \pm\infty} y = 2$ nên tiệm cận ngang $y = 2$; $\lim_{x \to 1^{\pm}} y = \pm\infty$ nên tiệm cận đứng $x = 1$.

Ví dụ 2

$y = \dfrac{1}{x^2 - 4}$: mẫu bằng $0$ tại $x = \pm 2$ nên tiệm cận đứng $x = \pm 2$; $\lim y = 0$ nên tiệm cận ngang $y = 0$.

Ví dụ 3: tiệm cận xiên

$y = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1} = x + 1 + \dfrac{2}{x - 1}$: $\lim [y - (x + 1)] = 0$ nên tiệm cận xiên $y = x + 1$; tiệm cận đứng $x = 1$.

Chia đa thức để tìm tiệm cận xiên.

Xem bài: Sơ đồ khảo sát hàm số

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm tiệm cận của $y = \dfrac{3x - 2}{x + 1}$.
Tìm tiệm cận của $y = \dfrac{x}{x^2 - 1}$.
Tìm tiệm cận xiên của $y = \dfrac{x^2 - x + 1}{x - 1}$.
Đồ thị $y = x^2 + 1$ có tiệm cận không?
Tìm tiệm cận đứng của $y = \dfrac{x - 2}{x^2 - 4}$.

Đáp án

Tiệm cận ngang $y = 3$; tiệm cận đứng $x = -1$.
Tiệm cận đứng $x = \pm 1$; tiệm cận ngang $y = 0$.
$y = x + \dfrac{1}{x - 1}$: tiệm cận xiên $y = x$, tiệm cận đứng $x = 1$.
Không có tiệm cận.
Rút gọn $y = \dfrac{1}{x + 2}$ ($x \neq 2$): tiệm cận đứng $x = -2$ (tại $x = 2$ chỉ là điểm bị khuyết).