Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn, trên khoảng và bài tập có đáp án Toán 12

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên một đoạn [a; b] được tìm bằng cách so sánh giá trị tại hai đầu mút và tại các điểm có đạo hàm bằng 0. Phương pháp trên khoảng bằng bảng biến thiên, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 12.

$Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: trên đoạn, trên khoảng và bài tập có đáp án Toán 12$

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f$ trên tập $D$ là số $M$, $m$ sao cho $f(x) \leq M$ (hoặc $f(x) \geq m$) với mọi $x \in D$ và đạt dấu bằng tại một điểm nào đó. Với hàm liên tục trên đoạn $[a; b]$ luôn tồn tại cả hai giá trị này.

Quy tắc trên đoạn [a; b]

Tính $f'(x)$ và tìm các nghiệm $x_1, x_2, \ldots \in (a; b)$ của $f'(x) = 0$ (và điểm $f'$ không xác định).
Tính $f(a)$, $f(b)$, $f(x_1)$, $f(x_2)$, ...
Số lớn nhất là $\max_{[a; b]} f$, số nhỏ nhất là $\min_{[a; b]} f$.

Ví dụ 1

$y = x^3 - 3x + 1$ trên $[0; 2]$: $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = 1 \in (0; 2)$.
$y(0) = 1$, $y(1) = -1$, $y(2) = 3$. Vậy $\max = 3$ tại $x = 2$, $\min = -1$ tại $x = 1$.

Ví dụ 2

$y = x + \dfrac{4}{x}$ trên $[1; 4]$: $y' = 1 - \dfrac{4}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 2$. $y(1) = 5$, $y(2) = 4$, $y(4) = 5$. $\max = 5$, $\min = 4$.

Xem bài: Cực trị của hàm số

Trên khoảng hoặc nửa khoảng

Lập bảng biến thiên rồi đọc giá trị lớn nhất, nhỏ nhất; chú ý có thể không tồn tại.

Ví dụ 3

$y = x + \dfrac{1}{x}$ trên $(0; +\infty)$: $y' = 1 - \dfrac{1}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 1$; $y$ giảm trên $(0; 1)$, tăng trên $(1; +\infty)$ nên $\min = y(1) = 2$, không có giá trị lớn nhất.

Ví dụ 4

$y = -x^2 + 4x$ trên $\mathbb{R}$: đỉnh $x = 2$, $\max = 4$, không có min.

Xem bài: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm max, min của $y = x^3 - 3x^2$ trên $[-1; 3]$.
Tìm max, min của $y = x^2 - 4x + 5$ trên $[0; 3]$.
Tìm min của $y = x + \dfrac{9}{x}$ trên $(0; +\infty)$.
Tìm max của $y = \sqrt{4 - x^2}$ trên $[-2; 2]$.
Tìm max, min của $y = 2x + 1$ trên $[1; 4]$.

Đáp án

$y' = 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0, 2$: $y(-1) = -4$, $y(0) = 0$, $y(2) = -4$, $y(3) = 0$; $\max = 0$, $\min = -4$.
$y' = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$: $y(0) = 5$, $y(2) = 1$, $y(3) = 2$; $\max = 5$, $\min = 1$.
$y' = 1 - \dfrac{9}{x^2} = 0 \Rightarrow x = 3$; $\min = 6$.
$\max = 2$ tại $x = 0$.
Hàm đồng biến: $\min = 3$, $\max = 9$.