Cực trị của hàm số: điểm cực đại, cực tiểu, điều kiện đủ, quy tắc tìm và bài tập có đáp án Toán lớp 12

Cực trị của hàm số gồm điểm cực đại và điểm cực tiểu. Điều kiện cần f'(x₀) = 0, hai quy tắc tìm cực trị bằng dấu của f' hoặc dấu của f'', ví dụ hàm bậc ba và hàm trùng phương, tìm tham số m để hàm số có cực trị và bài tập có đáp án.

$Cực trị của hàm số: điểm cực đại, cực tiểu, điều kiện đủ, quy tắc tìm và bài tập có đáp án Toán lớp 12$

Cực trị của hàm số

Cực trị của hàm số là điểm mà tại đó hàm số đổi chiều biến thiên. Nếu $f'$ đổi dấu từ dương sang âm khi qua $x_0$ thì $x_0$ là điểm cực đại; đổi dấu từ âm sang dương thì $x_0$ là điểm cực tiểu. Điều kiện cần để $x_0$ là cực trị (với hàm có đạo hàm) là $f'(x_0) = 0$.

Hai quy tắc tìm cực trị

Xem bài: Tính đơn điệu của hàm số

Ví dụ

Ví dụ 1: hàm bậc ba

$y = x^3 - 3x$: $y' = 3x^2 - 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$; $y'' = 6x$.
$y''(1) = 6 > 0$ nên cực tiểu tại $x = 1$, $y_{CT} = -2$. $y''(-1) = -6 < 0$ nên cực đại tại $x = -1$, $y_{CĐ} = 2$.

Ví dụ 2: trùng phương

$y = x^4 - 2x^2$: $y' = 4x(x^2 - 1)$, các nghiệm $0, \pm 1$. Cực đại tại $x = 0$ ($y = 0$), cực tiểu tại $x = \pm 1$ ($y = -1$).

Ví dụ 3

$y = x^3$ có $y' = 3x^2 = 0$ tại $x = 0$ nhưng $y'$ không đổi dấu nên không có cực trị.

$f'(x_0) = 0$ chưa đủ để có cực trị.

Tìm tham số để có cực trị

Ví dụ

$y = x^3 - 3mx + 1$ có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow y' = 3x^2 - 3m = 0$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow m > 0$.

Xem bài: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tìm cực trị của $y = x^3 - 6x^2 + 9x$.
Tìm cực trị của $y = -x^4 + 2x^2$.
Hàm $y = x^3 + 1$ có cực trị không?
Tìm $m$ để $y = x^3 - 3x^2 + m$ có giá trị cực tiểu bằng $0$.
Dùng $f''$ xác định cực trị của $y = x^2 - 4x$.

Đáp án

$y' = 3x^2 - 12x + 9 = 0 \Rightarrow x = 1, 3$: cực đại $(1; 4)$, cực tiểu $(3; 0)$.
$y' = -4x(x^2 - 1)$: cực tiểu $(0; 0)$, cực đại $(\pm 1; 1)$.
Không ($y' = 3x^2 \geq 0$ không đổi dấu).
$y' = 3x^2 - 6x = 0 \Rightarrow x = 0, 2$; cực tiểu tại $x = 2$ có $y = m - 4 = 0 \Rightarrow m = 4$.
$y' = 2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$; $y'' = 2 > 0$ nên cực tiểu, $y_{CT} = -4$.