Tính đơn điệu của hàm số: đồng biến, nghịch biến, xét dấu đạo hàm và bài tập có đáp án Toán lớp 12

Tính đơn điệu của hàm số: f'(x) > 0 trên khoảng thì hàm số đồng biến, f'(x) < 0 thì nghịch biến. Các bước xét, bảng biến thiên, ví dụ hàm bậc ba và phân thức, tìm tham số m để hàm số đơn điệu trên R và bài tập có đáp án.

$Tính đơn điệu của hàm số: đồng biến, nghịch biến, xét dấu đạo hàm và bài tập có đáp án Toán lớp 12$

Tính đơn điệu của hàm số

Tính đơn điệu của hàm số được xét qua dấu của đạo hàm. Nếu $f'(x) > 0$ với mọi $x$ thuộc khoảng $K$ thì hàm số đồng biến trên $K$; nếu $f'(x) < 0$ với mọi $x \in K$ thì hàm số nghịch biến trên $K$. Đây là công cụ mạnh hơn nhiều so với định nghĩa ở lớp 10.

Các bước xét tính đơn điệu

Tìm tập xác định.
Tính $f'(x)$ và giải $f'(x) = 0$ (tìm cả các điểm mà $f'$ không xác định).
Lập bảng xét dấu $f'$ (bảng biến thiên).
Kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến.

Ví dụ 1

$y = x^3 - 3x^2 + 1$: $y' = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$. $y' = 0 \Leftrightarrow x = 0$ hoặc $x = 2$.
$y' > 0$ khi $x < 0$ hoặc $x > 2$; $y' < 0$ khi $0 < x < 2$.
Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty; 0)$ và $(2; +\infty)$, nghịch biến trên $(0; 2)$.

Ví dụ 2

$y = \dfrac{x + 1}{x - 1}$: $y' = \dfrac{-2}{(x - 1)^2} < 0$ với $x \neq 1$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty; 1)$ và $(1; +\infty)$.

Không kết luận nghịch biến trên cả $\mathbb{R} \setminus \{1\}$.

Xem bài: Cực trị của hàm số

Tìm tham số để hàm số đơn điệu

Ví dụ

Tìm $m$ để $y = x^3 + 3x^2 + mx$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
$y' = 3x^2 + 6x + m \geq 0$ với mọi $x$ $\Leftrightarrow \Delta' = 9 - 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 3$.

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi $y' \geq 0$ với mọi $x$ (dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm).

Đồng biến trên $\mathbb{R}$: $y' \geq 0$ với mọi $x$; với $y' = ax^2 + bx + c$ cần $a > 0$, $\Delta \leq 0$.
Nghịch biến trên $\mathbb{R}$: $y' \leq 0$ với mọi $x$; cần $a < 0$, $\Delta \leq 0$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Xét tính đơn điệu của $y = x^3 - 3x$.
Xét tính đơn điệu của $y = \dfrac{2x + 1}{x + 1}$.
Xét tính đơn điệu của $y = x^4 - 2x^2$.
Tìm $m$ để $y = x^3 - 3x^2 + mx$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Hàm số $y = -x^3$ đồng biến hay nghịch biến trên $\mathbb{R}$?

Đáp án

$y' = 3x^2 - 3$: đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(1; +\infty)$, nghịch biến trên $(-1; 1)$.
$y' = \dfrac{1}{(x + 1)^2} > 0$: đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
$y' = 4x^3 - 4x = 4x(x - 1)(x + 1)$: nghịch biến trên $(-\infty; -1)$ và $(0; 1)$, đồng biến trên $(-1; 0)$ và $(1; +\infty)$.
$y' = 3x^2 - 6x + m \geq 0$ $\Leftrightarrow 9 - 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 3$.
$y' = -3x^2 \leq 0$ nên nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài tiếp theo: Cực trị của hàm số

Xem tất cả bài học chủ điểm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Câu hỏi thường gặp

Hàm số đồng biến khi nào?

Khi $f'(x) > 0$ với mọi $x$ trên khoảng đó (hoặc $\geq 0$ với dấu bằng tại hữu hạn điểm).

Các bước xét tính đơn điệu?

Tìm tập xác định, tính $f'$, giải $f' = 0$, lập bảng xét dấu và kết luận.

Làm sao tìm $m$ để hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$?

Cho $y' \geq 0$ với mọi $x$ và dùng điều kiện của tam thức bậc hai.

Bảng biến thiên là gì?

Bảng thể hiện dấu của $f'$ và chiều biến thiên của hàm số.