Bài tập khảo sát hàm số lớp 12: tính đơn điệu, cực trị, max min, tiệm cận và đồ thị có đáp án

Bài tập khảo sát hàm số tổng hợp

Bài tập khảo sát hàm số dưới đây tổng hợp toàn bộ chương: tính đơn điệu, cực trị, giá trị lớn nhất và nhỏ nhất, đường tiệm cận, khảo sát và vẽ đồ thị hàm bậc ba, hàm phân thức và bài toán tối ưu thực tế. Mỗi bài đều có đáp án ở cuối.

Tóm tắt kiến thức cần nhớ

Xem bài: Khảo sát hàm số bậc ba

Xem bài: Cực trị của hàm số

Mẹo làm bài

• Luôn lập bảng biến thiên để đọc đơn điệu, cực trị, max, min.
• Hàm phân thức: tìm tiệm cận trước khi vẽ.
• Biện luận số nghiệm: đếm giao điểm với đường thẳng $y = m$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

1. Xét tính đơn điệu của $y = x^3 - 6x^2 + 9x$.
2. Tìm cực trị của $y = x^4 - 4x^2$.
3. Tìm max, min của $y = x^3 - 12x$ trên $[-3; 3]$.
4. Tìm tiệm cận của $y = \dfrac{2x + 3}{x - 1}$.
5. Tìm $m$ để $y = x^3 + 3x^2 + mx$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
6. Phương trình $x^3 - 3x = m$ có đúng hai nghiệm khi nào?
7. Tìm tâm đối xứng của $y = x^3 - 3x^2 + 4$.
8. Tìm giá trị nhỏ nhất của $y = x + \dfrac{4}{x}$ trên $(0; +\infty)$.
9. Xét chiều biến thiên của $y = \dfrac{x - 2}{x + 1}$.
10. Dùng $100$ m hàng rào rào hình chữ nhật. Tìm diện tích lớn nhất.

Đáp án

1. $y' = 3x^2 - 12x + 9$: đồng biến trên $(-\infty; 1)$ và $(3; +\infty)$, nghịch biến trên $(1; 3)$.
2. $y' = 4x(x^2 - 2)$: cực đại $(0; 0)$, cực tiểu $(\pm\sqrt{2}; -4)$.
3. $y' = 3x^2 - 12 = 0 \Rightarrow x = \pm 2$: $y(-3) = 9$, $y(-2) = 16$, $y(2) = -16$, $y(3) = -9$; $\max = 16$, $\min = -16$.
4. Tiệm cận ngang $y = 2$, tiệm cận đứng $x = 1$.
5. $9 - 3m \leq 0 \Leftrightarrow m \geq 3$.
6. $m = 2$ hoặc $m = -2$.
7. $y'' = 6x - 6 = 0 \Rightarrow x = 1$, $y(1) = 2$: tâm $(1; 2)$.
8. $x = 2$: $\min = 4$.
9. $y' = \dfrac{3}{(x + 1)^2} > 0$: đồng biến trên $(-\infty; -1)$ và $(-1; +\infty)$.
10. Hình vuông cạnh $25$ m: $625\ \text{m}^2$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Ứng dụng đạo hàm trong bài toán thực tế

Xem tất cả bài học chủ điểm Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số