Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác: hệ thức vectơ, cách chứng minh và bài tập có đáp án
Hệ thức vectơ của trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác: IA + IB = 0, GA + GB + GC = 0, OA + OB = 2·OI, OA + OB + OC = 3·OG. Cách chứng minh, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác có thể đặc trưng hoàn toàn bằng các hệ thức vectơ. Điểm $I$ là trung điểm của $AB$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$; điểm $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$ khi và chỉ khi $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Trung điểm của đoạn thẳng
Xem bài: Tích của một số với một vectơ
Trọng tâm của tam giác
- Nếu $M$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GM}$.
- Trọng tâm nằm trên mỗi đường trung tuyến, cách đỉnh $\dfrac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.
Ví dụ
Chứng minh nếu $G$ là trọng tâm $\triangle ABC$ thì $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Gọi $M$ là trung điểm $BC$ thì $\overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = 2\overrightarrow{GM}$.
Mà $\overrightarrow{GA} = -2\overrightarrow{GM}$ nên tổng bằng $\vec{0}$.
Ứng dụng
Ví dụ
Cho tam giác $ABC$ với $G$ trọng tâm. Với điểm $O$ bất kì, $\overrightarrow{OG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})$.
Chọn $O \equiv A$: $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$.
Dùng để phân tích vectơ theo hai cạnh của tam giác.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cho $I$ là trung điểm $AB$ và $O$ bất kì. Chứng minh $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$.
- Cho tam giác $ABC$, $G$ là trọng tâm, $M$ là trung điểm $BC$. Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AM}$.
- Cho $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$. $G$ là điểm gì của tam giác?
- Biểu diễn $\overrightarrow{AG}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$.
- Cho hình bình hành $ABCD$ tâm $O$. Tính $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD}$.
Đáp án
- $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IA}) + (\overrightarrow{OI} + \overrightarrow{IB}) = 2\overrightarrow{OI} + \vec{0}$.
- $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{3}\overrightarrow{AM}$.
- $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$.
- $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.
- $\vec{0}$, vì $O$ là trung điểm hai đường chéo.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Bài tiếp theo: Góc giữa hai vectơ
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ
Câu hỏi thường gặp
Hệ thức vectơ của trung điểm là gì?
$\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$, hoặc $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$ với mọi $O$.
Hệ thức vectơ của trọng tâm là gì?
$\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + \overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Trọng tâm chia trung tuyến theo tỉ lệ nào?
Cách đỉnh $\dfrac{2}{3}$ độ dài trung tuyến.
Dùng hệ thức này để làm gì?
Chứng minh đẳng thức vectơ và phân tích vectơ theo cạnh của tam giác.