Điều kiện để hai vectơ cùng phương: ba điểm thẳng hàng, phân tích vectơ và bài tập có đáp án
Điều kiện để hai vectơ cùng phương: vectơ a cùng phương với vectơ b khác vectơ-không khi và chỉ khi tồn tại số k sao cho a = k·b. Ứng dụng chứng minh ba điểm thẳng hàng, phân tích vectơ, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện để hai vectơ cùng phương được phát biểu bằng tích của một số với một vectơ: vectơ $\vec{a}$ cùng phương với vectơ $\vec{b} \neq \vec{0}$ khi và chỉ khi tồn tại số thực $k$ sao cho $\vec{a} = k\vec{b}$. Điều này giúp chứng minh ba điểm thẳng hàng và phân tích vectơ.
Điều kiện cùng phương
Xem bài: Tích của một số với một vectơ
Ba điểm thẳng hàng
Ví dụ
Cho $\overrightarrow{AB} = \vec{u} + \vec{v}$ và $\overrightarrow{AC} = 3\vec{u} + 3\vec{v}$. Khi đó $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$ nên $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
Ví dụ
$I$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ nên $A$, $I$, $B$ thẳng hàng.
Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Nếu $\vec{a}$ và $\vec{b}$ không cùng phương thì mọi vectơ $\vec{x}$ đều phân tích được duy nhất dưới dạng $\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$.
Ví dụ
Cho tam giác $ABC$, $M$ trung điểm $BC$. Đặt $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$, $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$.
$\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cho $\overrightarrow{AB} = 2\vec{u} - \vec{v}$ và $\overrightarrow{AC} = 6\vec{u} - 3\vec{v}$. Chứng minh $A$, $B$, $C$ thẳng hàng.
- Cho tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$. Phân tích $\overrightarrow{AM}$ theo $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AC}$.
- Cho hai vectơ $\vec{a}$, $\vec{b}$ không cùng phương. Hai vectơ $2\vec{a} - \vec{b}$ và $-4\vec{a} + 2\vec{b}$ có cùng phương không?
- Cho $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB}$. Ba điểm $M$, $A$, $B$ có thẳng hàng không?
- Tìm $m$ để $\vec{a} = (m + 1)\vec{b}$ ngược hướng với $\vec{b}$.
Đáp án
- $\overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AB}$ nên thẳng hàng.
- $\overrightarrow{AM} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AC}$.
- Có, vì $-4\vec{a} + 2\vec{b} = -2(2\vec{a} - \vec{b})$.
- Có, vì $\overrightarrow{MA} = 2\overrightarrow{MB}$ nên hai vectơ cùng phương và có chung điểm $M$.
- Ngược hướng khi $m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < -1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tích của một số với một vectơ
Bài tiếp theo: Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ
Câu hỏi thường gặp
Điều kiện để hai vectơ cùng phương là gì?
$\vec{a} = k\vec{b}$ với $\vec{b} \neq \vec{0}$.
Làm sao chứng minh ba điểm thẳng hàng bằng vectơ?
Chỉ ra $\overrightarrow{AB} = k\overrightarrow{AC}$.
Phân tích vectơ theo hai vectơ không cùng phương là gì?
Biểu diễn $\vec{x} = m\vec{a} + n\vec{b}$; cách biểu diễn là duy nhất.
$k$ dương hay âm cho biết gì?
Cho biết hai vectơ cùng hướng ($k > 0$) hay ngược hướng ($k < 0$).