Tích của một số với một vectơ: định nghĩa, tính chất, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 10
Tích của một số với một vectơ a là vectơ k·a cùng hướng với a nếu k dương, ngược hướng nếu k âm, độ dài bằng |k|·|a|. Định nghĩa, tính chất phân phối, ví dụ trung điểm và bài tập có đáp án.
Tích của một số với một vectơ là gì?
Tích của một số với một vectơ $\vec{a}$, cụ thể là số thực $k$ nhân với $\vec{a}$, là một vectơ kí hiệu $k\vec{a}$. Nếu $k > 0$ thì $k\vec{a}$ cùng hướng với $\vec{a}$; nếu $k < 0$ thì ngược hướng; độ dài luôn bằng $|k| \cdot |\vec{a}|$.
Định nghĩa
Ví dụ
$|\vec{a}| = 3$ thì $2\vec{a}$ cùng hướng $\vec{a}$ độ dài $6$; $-\dfrac{1}{3}\vec{a}$ ngược hướng, độ dài $1$.
$1 \cdot \vec{a} = \vec{a}$ và $(-1)\vec{a} = -\vec{a}$.
Tính chất
- $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$.
- $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$.
- $k(l\vec{a}) = (kl)\vec{a}$.
- $k\vec{a} = \vec{0}$ khi và chỉ khi $k = 0$ hoặc $\vec{a} = \vec{0}$.
Ví dụ ứng dụng
Trung điểm
$I$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ và với mọi điểm $O$: $\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OI}$.
Rút gọn
$2(\vec{a} + \vec{b}) - 3\vec{a} + \vec{b} = 2\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{a} + \vec{b} = -\vec{a} + 3\vec{b}$.
Biến đổi như đại số, chú ý phân phối.
Xem bài: Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Rút gọn $3(\vec{a} - 2\vec{b}) + 2(2\vec{a} + \vec{b})$.
- Cho $|\vec{a}| = 4$. Tính $|-3\vec{a}|$.
- Cho $I$ là trung điểm $AB$. Biểu diễn $\overrightarrow{AB}$ theo $\overrightarrow{AI}$.
- Rút gọn $\dfrac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) - \dfrac{1}{2}(\vec{a} - \vec{b})$.
- Tìm $k$ để $k\vec{a} = \vec{0}$ với $\vec{a} \neq \vec{0}$.
Đáp án
- $3\vec{a} - 6\vec{b} + 4\vec{a} + 2\vec{b} = 7\vec{a} - 4\vec{b}$.
- $12$.
- $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}$.
- $\vec{b}$.
- $k = 0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ
Câu hỏi thường gặp
Tích của một số với một vectơ là gì?
Là vectơ $k\vec{a}$ có độ dài $|k||\vec{a}|$, cùng hướng với $\vec{a}$ khi $k > 0$ và ngược hướng khi $k < 0$.
$0 \cdot \vec{a}$ bằng gì?
Bằng vectơ-không.
Có tính chất phân phối không?
Có, $k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$ và $(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$.
Liên hệ với trung điểm thế nào?
$I$ là trung điểm $AB$ thì $\overrightarrow{AI} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.