Góc giữa hai vectơ: định nghĩa, cách xác định, các trường hợp đặc biệt và bài tập có đáp án
Góc giữa hai vectơ khác vectơ-không là góc AOB với OA = a, OB = b, có số đo từ 0° đến 180°. Định nghĩa, cách xác định bằng cách dời gốc, các trường hợp đặc biệt cùng hướng, ngược hướng, vuông góc, ví dụ và bài tập có đáp án.
Góc giữa hai vectơ là gì?
Góc giữa hai vectơ khác vectơ-không $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là góc $\widehat{AOB}$ với $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$, kí hiệu $(\vec{a}, \vec{b})$. Số đo của góc nằm trong khoảng từ $0^\circ$ đến $180^\circ$. Đây là bước chuẩn bị cho tích vô hướng.
Định nghĩa
| Trường hợp | Góc $(\vec{a}, \vec{b})$ |
|---|---|
| Cùng hướng | $0^\circ$ |
| Ngược hướng | $180^\circ$ |
| Vuông góc ($\vec{a} \perp \vec{b}$) | $90^\circ$ |
Xem bài: Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Cách xác định góc giữa hai vectơ
- Chọn một điểm $O$ làm gốc chung (dời hai vectơ về cùng điểm đầu).
- Dựng các điểm $A$, $B$ sao cho $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$, $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.
- Góc $\widehat{AOB}$ chính là $(\vec{a}, \vec{b})$.
Ví dụ
Ví dụ 1
Tam giác $ABC$ đều. $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 60^\circ$ vì hai vectơ chung điểm đầu $A$.
$(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})$: hai vectơ nối tiếp nên góc giữa chúng bù với $\widehat{ABC}$, tức là $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.
Ví dụ 2
Hình vuông $ABCD$: $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}) = 45^\circ$, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}) = 90^\circ$, $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD}) = 180^\circ$.
Xem bài: Tích vô hướng của hai vectơ
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tam giác đều $ABC$. Tính $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ và $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$.
- Hình vuông $ABCD$. Tính $(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{BD})$.
- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$, $\widehat{B} = 30^\circ$. Tính $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$ và $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC})$.
- Hai vectơ cùng hướng có góc giữa bằng bao nhiêu?
- Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{BA}$ có góc giữa bằng bao nhiêu?
Đáp án
- Cả hai đều bằng $60^\circ$.
- $90^\circ$ (hai đường chéo hình vuông vuông góc).
- $(\overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC}) = 30^\circ$; $(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{BC}) = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ$.
- $0^\circ$.
- $180^\circ$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Trung điểm đoạn thẳng và trọng tâm tam giác
Bài tiếp theo: Tích vô hướng của hai vectơ
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ
Câu hỏi thường gặp
Góc giữa hai vectơ là gì?
Là góc $\widehat{AOB}$ với $\overrightarrow{OA} = \vec{a}$ và $\overrightarrow{OB} = \vec{b}$.
Góc giữa hai vectơ nằm trong khoảng nào?
Từ $0^\circ$ đến $180^\circ$.
Góc giữa hai vectơ cùng hướng là bao nhiêu?
$0^\circ$.
Làm sao xác định góc giữa hai vectơ nối tiếp?
Dời một vectơ để hai vectơ chung điểm đầu rồi đo góc.