Tích vô hướng của hai vectơ: định nghĩa, tính chất, điều kiện vuông góc và bài tập có đáp án
Tích vô hướng của hai vectơ a và b là số a·b = |a|·|b|·cos(a, b). Định nghĩa, bình phương vô hướng, tính chất giao hoán và phân phối, điều kiện hai vectơ vuông góc, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
Tích vô hướng của hai vectơ $\vec{a}$ và $\vec{b}$ là một số thực, kí hiệu $\vec{a} \cdot \vec{b}$, xác định bởi $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\vec{a}, \vec{b})$. Kết quả là một số chứ không phải một vectơ, vì vậy gọi là tích "vô hướng".
Định nghĩa
Ví dụ
$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, $(\vec{a}, \vec{b}) = 60^\circ$ thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 \cdot 4 \cdot \dfrac{1}{2} = 6$.
Hình vuông $ABCD$ cạnh $a$: $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = a \cdot a\sqrt{2} \cdot \cos 45^\circ = a^2$.
Bình phương vô hướng và điều kiện vuông góc
- $\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$.
- $\vec{a} \perp \vec{b}$ $\Leftrightarrow$ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ (với $\vec{a}, \vec{b} \neq \vec{0}$).
- $\vec{a}$, $\vec{b}$ cùng hướng thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|$; ngược hướng thì $\vec{a} \cdot \vec{b} = -|\vec{a}||\vec{b}|$.
| Góc $(\vec{a}, \vec{b})$ | Dấu của $\vec{a} \cdot \vec{b}$ |
|---|---|
| Nhọn | $> 0$ |
| Vuông | $= 0$ |
| Tù | $< 0$ |
Tính chất
- Giao hoán: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.
- Phân phối: $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$.
- $(k\vec{a}) \cdot \vec{b} = k(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
Hằng đẳng thức
$(\vec{a} + \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$.
$(\vec{a} - \vec{b})^2 = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$.
Giống hằng đẳng thức đại số nhưng dùng tích vô hướng.
Xem bài: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Cho $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $(\vec{a}, \vec{b}) = 120^\circ$. Tính $\vec{a} \cdot \vec{b}$.
- Tam giác đều $ABC$ cạnh $a$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
- Cho $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 4$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6$. Tính $|\vec{a} + \vec{b}|^2$.
- Tam giác $ABC$ vuông tại $A$. Tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$.
- Cho $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 1$ và $\vec{a} \perp \vec{b}$. Tính $|\vec{a} - \vec{b}|$.
Đáp án
- $2 \cdot 5 \cdot \cos 120^\circ = -5$.
- $a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \dfrac{a^2}{2}$.
- $9 + 2 \cdot 6 + 16 = 37$.
- $0$.
- $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 1 - 0 + 1 = 2$ nên $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{2}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Biểu thức tọa độ của tích vô hướng
Xem tất cả bài học chủ điểm Vectơ
Câu hỏi thường gặp
Tích vô hướng của hai vectơ là gì?
Là số $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(\vec{a}, \vec{b})$.
Khi nào tích vô hướng bằng 0?
Khi một vectơ là vectơ-không hoặc hai vectơ vuông góc.
Bình phương vô hướng bằng gì?
$\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.
Tích vô hướng có giao hoán không?
Có, $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$.