Biểu thức tọa độ của tích vô hướng: công thức, độ dài, góc, điều kiện vuông góc và bài tập

Ví dụ 1

$\vec{a} = (1; 2)$, $\vec{b} = (3; -1)$.
$\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 - 2 = 1$.
$|\vec{a}| = \sqrt{5}$, $|\vec{b}| = \sqrt{10}$, $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{1}{\sqrt{50}} \approx 0{,}141$ nên góc $\approx 81{,}9^\circ$.

Ví dụ 2

$\vec{a} = (2; 3)$, $\vec{b} = (3; -2)$: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 6 - 6 = 0$ nên $\vec{a} \perp \vec{b}$.

Ví dụ 3

$A(1; 2)$, $B(4; 6)$: $\overrightarrow{AB} = (3; 4)$, $AB = \sqrt{9 + 16} = 5$.

Ví dụ

Chứng minh tam giác $A(0; 0)$, $B(3; 0)$, $C(0; 4)$ vuông tại $A$.
$\overrightarrow{AB} = (3; 0)$, $\overrightarrow{AC} = (0; 4)$, $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0$ nên $AB \perp AC$.

Câu hỏi thường gặp

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng là gì?

$\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1 x_2 + y_1 y_2$.

Tính độ dài vectơ bằng tọa độ thế nào?

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Điều kiện vuông góc bằng tọa độ là gì?

$x_1 x_2 + y_1 y_2 = 0$.

Làm sao tính góc giữa hai vectơ khi biết tọa độ?

Dùng $\cos(\vec{a}, \vec{b}) = \dfrac{x_1 x_2 + y_1 y_2}{|\vec{a}||\vec{b}|}$.