Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: công thức S = u₁/(1 − q), đổi số thập phân tuần hoàn và bài tập có đáp án

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn có |q| < 1 là S = u₁ / (1 − q). Định nghĩa, công thức, ví dụ tính tổng, đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn: công thức S = u₁/(1 − q), đổi số thập phân tuần hoàn và bài tập có đáp án

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là tổng của vô số số hạng của một cấp số nhân có công bội $q$ thỏa $|q| < 1$. Khi đó tổng này có giá trị hữu hạn $S = u_1 + u_2 + \cdots + u_n + \cdots = \dfrac{u_1}{1 - q}$.

Công thức

Chứng minh: $S_n = \dfrac{u_1(1 - q^n)}{1 - q}$ và $\lim q^n = 0$ khi $|q| < 1$ nên $\lim S_n = \dfrac{u_1}{1 - q}$.

Xem bài: Giới hạn của dãy số

Ví dụ

Ví dụ 1

$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$: $u_1 = 1$, $q = \dfrac{1}{2}$ nên $S = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.

Ví dụ 2

$1 - \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} - \dfrac{1}{27} + \cdots$: $q = -\dfrac{1}{3}$ nên $S = \dfrac{1}{1 + \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{4}$.

Ví dụ 3

$\dfrac{2}{3} + \dfrac{2}{9} + \dfrac{2}{27} + \cdots$: $u_1 = \dfrac{2}{3}$, $q = \dfrac{1}{3}$ nên $S = \dfrac{2/3}{2/3} = 1$.

Đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn thành phân số

Ví dụ

$0{,}(3) = 0{,}3 + 0{,}03 + 0{,}003 + \cdots$: $u_1 = 0{,}3$, $q = 0{,}1$ nên $S = \dfrac{0{,}3}{0{,}9} = \dfrac{1}{3}$.
$0{,}(27) = \dfrac{0{,}27}{1 - 0{,}01} = \dfrac{27}{99} = \dfrac{3}{11}$.

Mỗi chu kì là một số hạng của cấp số nhân.

Xem bài: Giới hạn vô cực của dãy số

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

  1. Tính $1 + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{9} + \cdots$.
  2. Tính $2 - 1 + \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{4} + \cdots$.
  3. Đổi $0{,}(6)$ thành phân số.
  4. Đổi $0{,}(45)$ thành phân số.
  5. Cấp số nhân $u_1 = 5$ có tổng $S = 10$. Tìm $q$.

Đáp án

  1. $S = \dfrac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \dfrac{3}{2}$.
  2. $q = -\dfrac{1}{2}$: $S = \dfrac{2}{1 + \frac{1}{2}} = \dfrac{4}{3}$.
  3. $\dfrac{0{,}6}{0{,}9} = \dfrac{2}{3}$.
  4. $\dfrac{0{,}45}{0{,}99} = \dfrac{5}{11}$.
  5. $\dfrac{5}{1 - q} = 10 \Rightarrow q = \dfrac{1}{2}$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Các quy tắc tính giới hạn của dãy số

Bài tiếp theo: Giới hạn vô cực của dãy số

Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục

Câu hỏi thường gặp

Cấp số nhân lùi vô hạn là gì?

Là cấp số nhân có công bội $|q| < 1$.

Công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn?

$S = \dfrac{u_1}{1 - q}$.

Dùng để làm gì?

Tính tổng vô hạn và đổi số thập phân tuần hoàn thành phân số.

Điều kiện áp dụng?

$|q| < 1$.