Giới hạn của dãy số: định nghĩa, giới hạn đặc biệt, cách tính và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Giới hạn của dãy số (uₙ) bằng L khi uₙ càng gần L khi n càng lớn, kí hiệu lim uₙ = L. Định nghĩa, các giới hạn đặc biệt lim 1/nᵏ = 0, lim qⁿ = 0 với |q| < 1, cách tính với dãy phân thức, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án.
Giới hạn của dãy số là gì?
Giới hạn của dãy số cho biết các số hạng $u_n$ tiến gần đến một số $L$ như thế nào khi $n$ rất lớn. Ta nói dãy số $(u_n)$ có giới hạn là $L$, viết $\lim u_n = L$ (hay $\lim_{n \to +\infty} u_n = L$), nếu khoảng cách $|u_n - L|$ nhỏ bao nhiêu cũng được kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Các giới hạn đặc biệt
| Giới hạn | Giá trị |
|---|---|
| $\lim \dfrac{1}{n}$, $\lim \dfrac{1}{n^k}$ ($k > 0$) | $0$ |
| $\lim q^n$ ($|q| < 1$) | $0$ |
| $\lim c$ ($c$ là hằng số) | $c$ |
Ví dụ
$\lim \dfrac{1}{n} = 0$; $\lim \left(\dfrac{1}{2}\right)^n = 0$; $\lim \dfrac{3}{n^2} = 0$.
Xem bài: Các quy tắc tính giới hạn của dãy số
Cách tính giới hạn dãy phân thức
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$ rồi dùng $\lim \dfrac{1}{n^k} = 0$.
Ví dụ 1
$\lim \dfrac{2n + 1}{n} = \lim \left(2 + \dfrac{1}{n}\right) = 2$.
Ví dụ 2
$\lim \dfrac{3n^2 + 1}{n^2 + n} = \lim \dfrac{3 + \frac{1}{n^2}}{1 + \frac{1}{n}} = 3$.
Ví dụ 3
$\lim \dfrac{n + 2}{n^2 + 1} = \lim \dfrac{\frac{1}{n} + \frac{2}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} = 0$.
Bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì giới hạn bằng $0$.
Quy tắc nhận biết nhanh
| Bậc tử so với bậc mẫu | Giới hạn |
|---|---|
| Tử nhỏ hơn mẫu | $0$ |
| Bằng nhau | Tỉ số hai hệ số cao nhất |
| Tử lớn hơn mẫu | $\pm\infty$ |
Xem bài: Giới hạn vô cực của dãy số
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\lim \dfrac{4n - 3}{2n + 1}$.
- Tính $\lim \dfrac{n^2 + 3n}{2n^2 - 1}$.
- Tính $\lim \dfrac{5n + 1}{n^2 + 2}$.
- Tính $\lim \left(\dfrac{2}{3}\right)^n$.
- Tính $\lim \dfrac{2^n + 1}{3^n}$.
Đáp án
- Chia cho $n$: $\dfrac{4 - \frac{3}{n}}{2 + \frac{1}{n}} \to 2$.
- $\dfrac{1 + \frac{3}{n}}{2 - \frac{1}{n^2}} \to \dfrac{1}{2}$.
- $0$.
- $0$ vì $\left|\dfrac{2}{3}\right| < 1$.
- $\lim \left[\left(\dfrac{2}{3}\right)^n + \left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right] = 0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Các quy tắc tính giới hạn của dãy số
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn của dãy số là gì?
Là số $L$ mà các số hạng $u_n$ tiến gần tùy ý khi $n$ đủ lớn.
Giới hạn của $\dfrac{1}{n}$ là bao nhiêu?
$0$.
Giới hạn của $q^n$?
$0$ khi $|q| < 1$.
Tính giới hạn phân thức thế nào?
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $n$.