Giới hạn vô cực của dãy số: lim uₙ = +∞, −∞, các quy tắc và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Giới hạn vô cực của dãy số: lim uₙ = +∞ khi uₙ lớn tùy ý kể từ một số hạng nào đó. Các giới hạn đặc biệt lim nᵏ = +∞, lim qⁿ = +∞ (q > 1), quy tắc về dấu của tích và thương, ví dụ và bài tập có đáp án.
Giới hạn vô cực của dãy số
Giới hạn vô cực của dãy số xảy ra khi các số hạng $u_n$ lớn vô hạn: $\lim u_n = +\infty$ nếu $u_n$ lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi, và $\lim u_n = -\infty$ nếu $\lim (-u_n) = +\infty$.
Các giới hạn đặc biệt
| Giới hạn | Giá trị |
|---|---|
| $\lim n^k$ ($k$ nguyên dương) | $+\infty$ |
| $\lim q^n$ ($q > 1$) | $+\infty$ |
| $\lim \dfrac{1}{u_n}$ khi $\lim |u_n| = +\infty$ | $0$ |
Xem bài: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Quy tắc về dấu
- Nếu $\lim u_n = +\infty$ và $\lim v_n = L > 0$ thì $\lim u_n v_n = +\infty$; nếu $L < 0$ thì $-\infty$.
- Nếu $\lim u_n = L \neq 0$ và $\lim v_n = 0$ với $v_n > 0$ thì $\lim \dfrac{u_n}{v_n} = +\infty$ khi $L > 0$ và $-\infty$ khi $L < 0$.
- Tổng của hai dãy cùng tiến đến $+\infty$ thì tiến đến $+\infty$.
Ví dụ
Ví dụ 1
$\lim (n^2 - 3n + 1) = \lim n^2\left(1 - \dfrac{3}{n} + \dfrac{1}{n^2}\right) = +\infty$ vì $\lim n^2 = +\infty$ và thừa số còn lại $\to 1 > 0$.
Ví dụ 2
$\lim \dfrac{2n^3 - n}{n^2} = \lim (2n - \dfrac{1}{n}) = +\infty$.
Ví dụ 3
$\lim \dfrac{3n^2 + 1}{1 - 2n} = \lim \dfrac{n\left(3 + \frac{1}{n^2}\right)}{\frac{1}{n} - 2} = -\infty$, vì tử $n\left(3 + \frac{1}{n^2}\right) \to +\infty$ còn mẫu $\to -2 < 0$.
Xem bài: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\lim (n^3 - 2n)$.
- Tính $\lim \dfrac{n^2 + 1}{n + 1}$.
- Tính $\lim (3^n - 2^n)$.
- Tính $\lim \dfrac{1 - n^2}{n}$.
- Tính $\lim \dfrac{1}{n^2 + 1}$.
Đáp án
- $+\infty$.
- $\lim \dfrac{n + \frac{1}{n}}{1 + \frac{1}{n}} = +\infty$.
- $\lim 3^n\left[1 - (2/3)^n\right] = +\infty$.
- $\lim \left(\dfrac{1}{n} - n\right) = -\infty$.
- $0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Bài tiếp theo: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn vô cực của dãy số là gì?
Là trường hợp các số hạng lớn hơn mọi số dương cho trước kể từ một số hạng nào đó.
$\lim q^n$ với $q > 1$ bằng gì?
$+\infty$.
Giới hạn của $\dfrac{1}{u_n}$ khi $u_n \to \infty$?
$0$.
Gặp $\infty - \infty$ làm sao?
Đặt nhân tử chung hoặc nhân liên hợp.