Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm: định nghĩa, quy tắc tính và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm: lim f(x) = L khi x tiến đến x₀ nghĩa là f(x) gần L tùy ý khi x đủ gần x₀. Định nghĩa, các quy tắc về tổng, tích, thương, cách khử dạng 0/0 bằng rút gọn và nhân liên hợp, ví dụ và bài tập có đáp án.
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm: cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng chứa $x_0$ (có thể trừ $x_0$). Ta nói $f(x)$ có giới hạn hữu hạn là $L$ khi $x$ dần tới $x_0$, viết $\lim_{x \to x_0} f(x) = L$, nếu $f(x)$ gần $L$ tùy ý khi $x$ đủ gần $x_0$ (nhưng khác $x_0$).
Giới hạn đặc biệt và các quy tắc
- $\lim_{x \to x_0} x = x_0$ và $\lim_{x \to x_0} c = c$.
- Nếu $\lim f(x) = a$, $\lim g(x) = b$ thì $\lim [f(x) \pm g(x)] = a \pm b$; $\lim [f(x)g(x)] = ab$; $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \dfrac{a}{b}$ ($b \neq 0$).
- $\lim \sqrt{f(x)} = \sqrt{a}$ khi $a \geq 0$.
Ví dụ 1
$\lim_{x \to 2} (x^2 + 3x) = 4 + 6 = 10$.
Với hàm đa thức, giới hạn bằng giá trị hàm số tại điểm.
Xem bài: Giới hạn vô cực của dãy số
Khử dạng vô định 0/0
Ví dụ 2: rút gọn
$\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 2$.
Ví dụ 3: nhân liên hợp
$\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x + 3) - 4}{(x - 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \lim_{x \to 1} \dfrac{1}{\sqrt{x + 3} + 2} = \dfrac{1}{4}$.
Ví dụ 4
$\lim_{x \to -2} \dfrac{x^2 + 3x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2} \dfrac{(x + 1)(x + 2)}{x + 2} = -1$.
Phân tích tử thành nhân tử để triệt tiêu nhân tử chung.
Xem bài: Giới hạn của hàm số tại vô cực
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\lim_{x \to 3} (x^2 - 2x + 1)$.
- Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
- Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$.
- Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 - 3x + 2}{x - 1}$.
- Tính $\lim_{x \to -1} \dfrac{x + 1}{x^2 - 1}$.
Đáp án
- $9 - 6 + 1 = 4$.
- $\lim (x + 2) = 4$.
- $\lim \dfrac{x}{x(\sqrt{x + 4} + 2)} = \dfrac{1}{4}$.
- $\lim \dfrac{(x - 1)(x - 2)}{x - 1} = -1$.
- $\lim \dfrac{1}{x - 1} = -\dfrac{1}{2}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Giới hạn vô cực của dãy số
Bài tiếp theo: Giới hạn của hàm số tại vô cực
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn của hàm số tại một điểm là gì?
Là giá trị $L$ mà $f(x)$ tiến gần khi $x$ tiến gần $x_0$.
Dạng 0/0 khử thế nào?
Phân tích nhân tử rút gọn hoặc nhân liên hợp.
Giá trị $f(x_0)$ có ảnh hưởng không?
Không, giới hạn chỉ xét $x$ gần $x_0$.
Hàm đa thức có giới hạn thế nào?
$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.