Giới hạn của hàm số tại vô cực: x → +∞, x → −∞, cách tính phân thức và bài tập có đáp án Toán 11
Giới hạn của hàm số tại vô cực mô tả f(x) khi x → +∞ hoặc x → −∞. Giới hạn đặc biệt lim 1/xᵏ = 0, cách tính giới hạn của hàm phân thức bằng chia cho lũy thừa cao nhất, đường tiệm cận ngang, ví dụ và bài tập có đáp án.
Giới hạn của hàm số tại vô cực
Giới hạn của hàm số tại vô cực xét hành vi của $f(x)$ khi $x$ tăng không giới hạn ($x \to +\infty$) hoặc giảm không giới hạn ($x \to -\infty$). Nếu $f(x)$ tiến đến số $L$ ta viết $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ (hay $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$).
Giới hạn đặc biệt
| Giới hạn | Giá trị |
|---|---|
| $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{1}{x^k}$ ($k$ nguyên dương) | $0$ |
| $\lim_{x \to \pm\infty} c$ | $c$ |
| $\lim_{x \to +\infty} x^k$ | $+\infty$ |
Xem bài: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Cách tính hàm phân thức
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$ rồi dùng $\lim \dfrac{1}{x^k} = 0$.
Ví dụ 1
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x - 3} = \lim \dfrac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{3}{x}} = 2$.
Ví dụ 2
$\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 1}{2x^2 - x} = \lim \dfrac{1 + \frac{1}{x^2}}{2 - \frac{1}{x}} = \dfrac{1}{2}$.
Ví dụ 3
$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x + 5}{x^2 + 1} = 0$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu).
Tiệm cận ngang
Nếu $\lim_{x \to +\infty} f(x) = L$ hoặc $\lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ thì đường thẳng $y = L$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = f(x)$.
Ví dụ
Đồ thị $y = \dfrac{2x + 1}{x - 3}$ có tiệm cận ngang $y = 2$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{4x - 1}{2x + 3}$.
- Tính $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 - x}{3x^2 + 1}$.
- Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x + 1}{x^2 - 4}$.
- Tìm tiệm cận ngang của $y = \dfrac{3x + 2}{x - 1}$.
- Tính $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + x} - x\right)$.
Đáp án
- $\dfrac{4 - \frac{1}{x}}{2 + \frac{3}{x}} \to 2$.
- $\dfrac{1 - \frac{1}{x}}{3 + \frac{1}{x^2}} \to \dfrac{1}{3}$.
- $0$.
- $y = 3$.
- $\lim \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + x} + x} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \dfrac{1}{2}$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm
Bài tiếp theo: Giới hạn một phía
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn của hàm số tại vô cực là gì?
Là giá trị $f(x)$ tiến đến khi $x \to +\infty$ hoặc $x \to -\infty$.
Cách tính giới hạn hàm phân thức tại vô cực?
Chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của $x$.
Tiệm cận ngang là gì?
Đường thẳng $y = L$ với $L$ là giới hạn của hàm số tại vô cực.
Giới hạn của $\dfrac{1}{x}$ tại vô cực?
$0$.