Giới hạn một phía: giới hạn bên phải, bên trái, điều kiện tồn tại giới hạn và bài tập có đáp án Toán 11
Giới hạn một phía gồm giới hạn bên phải x → x₀⁺ và giới hạn bên trái x → x₀⁻. Giới hạn của hàm số tại x₀ tồn tại khi và chỉ khi hai giới hạn một phía tồn tại và bằng nhau. Ví dụ hàm chứa giá trị tuyệt đối, hàm chia khoảng và bài tập có đáp án.
Giới hạn một phía là gì?
Giới hạn một phía xét $f(x)$ khi $x$ tiến đến $x_0$ từ một phía. Giới hạn bên phải $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ xét $x > x_0$; giới hạn bên trái $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ xét $x < x_0$. Giới hạn tại $x_0$ chỉ tồn tại khi hai giới hạn một phía cùng tồn tại và bằng nhau.
Điều kiện tồn tại giới hạn
Xem bài: Giới hạn của hàm số tại vô cực
Ví dụ
Ví dụ 1: giá trị tuyệt đối
$f(x) = \dfrac{|x|}{x}$. Khi $x \to 0^+$: $f(x) = 1$. Khi $x \to 0^-$: $f(x) = -1$.
Hai giới hạn khác nhau nên $\lim_{x \to 0} f(x)$ không tồn tại.
Ví dụ 2: hàm chia khoảng
$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & x \geq 1 \\ x + 2 & x < 1 \end{cases}$.
$\lim_{x \to 1^+} f(x) = 3$ và $\lim_{x \to 1^-} f(x) = 3$ nên $\lim_{x \to 1} f(x) = 3$.
Ví dụ 3
$\lim_{x \to 2^+} \dfrac{x - 2}{|x - 2|} = 1$; $\lim_{x \to 2^-} \dfrac{x - 2}{|x - 2|} = -1$.
Với $x > 2$ có $|x - 2| = x - 2$; với $x < 2$ có $|x - 2| = -(x - 2)$.
Cách làm
- Xác định biểu thức của $f(x)$ ở mỗi phía của $x_0$ (bỏ giá trị tuyệt đối, chọn nhánh).
- Tính giới hạn bên phải và bên trái.
- So sánh: bằng nhau thì có giới hạn, khác nhau thì không.
Xem bài: Giới hạn vô cực của hàm số
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\lim_{x \to 0^+} \dfrac{|x|}{x}$ và $\lim_{x \to 0^-} \dfrac{|x|}{x}$.
- Cho $f(x) = x + 1$ khi $x \geq 0$ và $f(x) = 1 - x$ khi $x < 0$. Tìm $\lim_{x \to 0} f(x)$.
- Cho $f(x) = 2x$ khi $x \geq 1$ và $f(x) = 3x - 2$ khi $x < 1$. Tính $\lim_{x \to 1} f(x)$.
- Giới hạn một phía bằng nhau thì giới hạn tại điểm đó tồn tại không?
- Tính $\lim_{x \to 3^-} \dfrac{|x - 3|}{x - 3}$.
Đáp án
- $1$ và $-1$.
- Hai phía đều bằng $1$ nên $\lim = 1$.
- Bên phải $= 2$, bên trái $= 1$: khác nhau nên không tồn tại.
- Có, giới hạn tồn tại và bằng giá trị chung.
- $-1$ (vì $x < 3$ thì $|x - 3| = -(x - 3)$).
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Giới hạn của hàm số tại vô cực
Bài tiếp theo: Giới hạn vô cực của hàm số
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn một phía là gì?
Là giới hạn khi $x$ tiến đến $x_0$ chỉ từ một phía (bên phải hoặc bên trái).
Khi nào tồn tại giới hạn tại một điểm?
Khi hai giới hạn một phía tồn tại và bằng nhau.
Ví dụ hàm không có giới hạn tại $0$?
$\dfrac{|x|}{x}$ có hai giới hạn một phía là $1$ và $-1$.
Kí hiệu giới hạn bên phải?
$\lim_{x \to x_0^+}$.