Giới hạn vô cực của hàm số: lim f(x) = ±∞, tiệm cận đứng và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Giới hạn vô cực của hàm số: lim f(x) = +∞ hoặc −∞ khi x → x₀ hoặc x → ±∞. Các giới hạn đặc biệt, quy tắc về dấu của tích và thương, tiệm cận đứng x = x₀, ví dụ lim 1/(x − 2)² và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Giới hạn vô cực của hàm số
Giới hạn vô cực của hàm số xảy ra khi $f(x)$ lớn vô hạn: $\lim_{x \to x_0} f(x) = +\infty$ nếu $f(x)$ lớn hơn mọi số dương cho trước khi $x$ đủ gần $x_0$. Giới hạn vô cực gắn liền với đường tiệm cận đứng $x = x_0$ của đồ thị hàm số.
Các giới hạn đặc biệt
| Giới hạn | Giá trị |
|---|---|
| $\lim_{x \to x_0} \dfrac{1}{(x - x_0)^{2k}}$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to x_0^+} \dfrac{1}{x - x_0}$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to x_0^-} \dfrac{1}{x - x_0}$ | $-\infty$ |
| $\lim_{x \to +\infty} x^k$ | $+\infty$ |
| $\lim_{x \to -\infty} x^3$ | $-\infty$ |
Quy tắc về dấu
- Nếu $\lim f(x) = L > 0$ và $\lim g(x) = +\infty$ thì $\lim f(x)g(x) = +\infty$ (nếu $L < 0$ thì $-\infty$).
- Nếu $\lim f(x) = L \neq 0$ và $\lim g(x) = 0$ với $g(x) > 0$ thì $\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = +\infty$ khi $L > 0$ và $-\infty$ khi $L < 0$.
Ví dụ 1
$\lim_{x \to 2^+} \dfrac{x + 1}{x - 2} = +\infty$ vì tử $\to 3 > 0$ và mẫu $\to 0^+$.
$\lim_{x \to 2^-} \dfrac{x + 1}{x - 2} = -\infty$ vì mẫu $\to 0^-$.
Ví dụ 2
$\lim_{x \to 1} \dfrac{1}{(x - 1)^2} = +\infty$.
Ví dụ 3
$\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x) = \lim x^3\left(1 - \dfrac{1}{x^2}\right) = +\infty$.
Tiệm cận đứng
Nếu một trong các giới hạn $\lim_{x \to x_0^+} f(x)$, $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$ bằng $+\infty$ hoặc $-\infty$ thì đường thẳng $x = x_0$ là tiệm cận đứng của đồ thị $y = f(x)$.
Ví dụ
Đồ thị $y = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ có tiệm cận đứng $x = 2$ và tiệm cận ngang $y = 1$.
Xem bài: Hàm số liên tục tại một điểm
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\lim_{x \to 3^+} \dfrac{2}{x - 3}$.
- Tính $\lim_{x \to 3^-} \dfrac{2}{x - 3}$.
- Tính $\lim_{x \to -2} \dfrac{1}{(x + 2)^2}$.
- Tìm tiệm cận đứng của $y = \dfrac{x}{x - 5}$.
- Tính $\lim_{x \to -\infty} (x^3 + x)$.
Đáp án
- $+\infty$.
- $-\infty$.
- $+\infty$.
- $x = 5$.
- $-\infty$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Hàm số liên tục tại một điểm
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn vô cực của hàm số là gì?
Là trường hợp $f(x)$ lớn hơn mọi số dương (hoặc nhỏ hơn mọi số âm) khi $x$ đủ gần $x_0$.
Tiệm cận đứng xác định thế nào?
Là $x = x_0$ khi một giới hạn một phía tại $x_0$ bằng $\pm\infty$.
Giới hạn của $\dfrac{1}{x - x_0}$ khi $x \to x_0^+$?
$+\infty$.
Làm sao xác định dấu của giới hạn vô cực?
Xét dấu của tử và dấu của mẫu khi $x$ tiến về $x_0$ từ phía đang xét.