Hàm số liên tục tại một điểm: định nghĩa, cách xét tính liên tục, tìm tham số và bài tập có đáp án

Hàm số liên tục tại một điểm x₀ khi lim f(x) = f(x₀) khi x → x₀. Định nghĩa, ba điều kiện cần kiểm tra, cách xét tính liên tục của hàm chia khoảng, tìm tham số để hàm số liên tục, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11.

$Hàm số liên tục tại một điểm: định nghĩa, cách xét tính liên tục, tìm tham số và bài tập có đáp án$

Hàm số liên tục tại một điểm

Hàm số liên tục tại một điểm $x_0$: cho hàm số $f(x)$ xác định trên khoảng $(a; b)$ chứa $x_0$. Hàm số $f$ gọi là liên tục tại $x_0$ nếu $\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$. Hàm số không liên tục tại $x_0$ thì gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ba điều kiện để liên tục

$f(x_0)$ xác định.
$\lim_{x \to x_0} f(x)$ tồn tại (hai giới hạn một phía bằng nhau).
$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$.

Xem bài: Giới hạn vô cực của hàm số

Ví dụ

Ví dụ 1

$f(x) = x^2 + 1$ tại $x_0 = 2$: $\lim_{x \to 2} f(x) = 5 = f(2)$ nên liên tục tại $2$.

Ví dụ 2

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & x \neq 1 \\ 2 & x = 1 \end{cases}$. $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim (x + 1) = 2 = f(1)$ nên liên tục tại $x = 1$.

Ví dụ 3

Cùng hàm trên nhưng $f(1) = 3$: $\lim_{x \to 1} f(x) = 2 \neq 3 = f(1)$ nên gián đoạn tại $x = 1$.

Tìm tham số để hàm số liên tục

Ví dụ

Tìm $a$ để $f(x) = \begin{cases} x + 1 & x \geq 0 \\ 2x + a & x < 0 \end{cases}$ liên tục tại $x = 0$.
$f(0) = 1$; $\lim_{x \to 0^+} f = 1$; $\lim_{x \to 0^-} f = a$.
Liên tục khi $a = 1$.

Cho hai giới hạn một phía bằng giá trị hàm tại điểm.

Xem bài: Hàm số liên tục trên một khoảng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Xét tính liên tục của $f(x) = 3x - 2$ tại $x = 1$.
Xét tính liên tục của $f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & x \neq 2 \\ 4 & x = 2 \end{cases}$ tại $x = 2$.
Tìm $m$ để $f(x) = \begin{cases} x^2 & x \leq 1 \\ 2x + m & x > 1 \end{cases}$ liên tục tại $x = 1$.
Hàm $f(x) = \dfrac{1}{x}$ có liên tục tại $x = 0$ không?
Điều kiện nào là cần thiết đầu tiên để hàm liên tục tại $x_0$?

Đáp án

$\lim = 1 = f(1)$ nên liên tục.
$\lim (x + 2) = 4 = f(2)$ nên liên tục.
$f(1) = 1$; $\lim_{x \to 1^+} = 2 + m$. Liên tục khi $2 + m = 1 \Leftrightarrow m = -1$.
Không, vì hàm không xác định tại $x = 0$.
$f(x_0)$ phải xác định.