Hàm số liên tục trên một khoảng: các hàm liên tục cơ bản, định lí giá trị trung gian và bài tập có đáp án
Hàm số liên tục trên một khoảng nếu liên tục tại mọi điểm của khoảng. Đa thức, phân thức hữu tỉ, căn thức và hàm lượng giác liên tục trên tập xác định. Định lí giá trị trung gian chứng minh phương trình có nghiệm, ví dụ và bài tập có đáp án.
Hàm số liên tục trên một khoảng
Hàm số liên tục trên một khoảng $(a; b)$ nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó; liên tục trên đoạn $[a; b]$ nếu liên tục trên $(a; b)$ và $\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$, $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$. Đồ thị hàm liên tục trên một khoảng là một đường liền nét.
Các hàm số liên tục cơ bản
- Hàm đa thức liên tục trên $\mathbb{R}$.
- Hàm phân thức hữu tỉ, hàm căn thức, hàm lượng giác liên tục trên từng khoảng của tập xác định của chúng.
- Tổng, hiệu, tích của hai hàm liên tục là hàm liên tục; thương cũng liên tục tại các điểm mà mẫu khác $0$.
Ví dụ
$f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ liên tục trên $(-\infty; 2)$ và $(2; +\infty)$, gián đoạn tại $x = 2$.
$f(x) = \sqrt{x - 1}$ liên tục trên $[1; +\infty)$.
Xem bài: Hàm số liên tục tại một điểm
Định lí giá trị trung gian
Ví dụ 1
Chứng minh $x^3 + x - 1 = 0$ có nghiệm trong $(0; 1)$.
$f(x) = x^3 + x - 1$ liên tục trên $\mathbb{R}$; $f(0) = -1 < 0$, $f(1) = 1 > 0$ nên $f(0)f(1) < 0$. Vậy phương trình có nghiệm trong $(0; 1)$.
Ví dụ 2
Chứng minh $x^3 - 3x + 1 = 0$ có ba nghiệm phân biệt: $f(-2) = -1$, $f(0) = 1$, $f(1) = -1$, $f(2) = 3$ cho nghiệm trong $(-2; 0)$, $(0; 1)$, $(1; 2)$.
Chọn các cặp giá trị có tích âm.
Xem bài: Các dạng vô định thường gặp
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Hàm $f(x) = x^2 - 3x + 2$ liên tục trên khoảng nào?
- Hàm $f(x) = \dfrac{1}{x - 3}$ gián đoạn tại điểm nào?
- Chứng minh $x^3 - x - 1 = 0$ có nghiệm trong $(1; 2)$.
- Chứng minh $\cos x - x = 0$ có nghiệm trong $(0; 1)$.
- Hàm $f(x) = \sqrt{4 - x}$ liên tục trên khoảng nào?
Đáp án
- Trên $\mathbb{R}$.
- Tại $x = 3$.
- $f(1) = -1 < 0$, $f(2) = 5 > 0$ và $f$ liên tục nên có nghiệm trong $(1; 2)$.
- $f(x) = \cos x - x$ liên tục, $f(0) = 1 > 0$, $f(1) = \cos 1 - 1 < 0$ nên có nghiệm trong $(0; 1)$.
- Trên $(-\infty; 4]$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Hàm số liên tục tại một điểm
Bài tiếp theo: Các dạng vô định thường gặp
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Hàm số liên tục trên khoảng là gì?
Là hàm liên tục tại mọi điểm của khoảng.
Hàm nào liên tục trên toàn $\mathbb{R}$?
Hàm đa thức.
Định lí giá trị trung gian dùng để làm gì?
Chứng minh phương trình có nghiệm trong một khoảng.
Điều kiện của định lí?
$f$ liên tục trên $[a; b]$ và $f(a)f(b) < 0$.