Các dạng vô định thường gặp: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞ và cách khử vô định, bài tập có đáp án Toán 11

Các dạng vô định thường gặp khi tính giới hạn gồm 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞ và 0·∞. Cách khử từng dạng bằng phân tích nhân tử, nhân liên hợp, chia cho lũy thừa cao nhất, quy đồng, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 11.

$Các dạng vô định thường gặp: 0/0, ∞/∞, ∞ − ∞, 0·∞ và cách khử vô định, bài tập có đáp án Toán 11$

Các dạng vô định thường gặp khi tính giới hạn

Các dạng vô định thường gặp khi tính giới hạn là những biểu thức mà việc thay trực tiếp giá trị giới hạn không cho kết quả xác định: $\dfrac{0}{0}$, $\dfrac{\infty}{\infty}$, $\infty - \infty$ và $0 \cdot \infty$. Mỗi dạng có cách khử riêng để đưa về giới hạn tính được.

Bảng các dạng và cách khử

Dạng	Cách khử thường dùng
$\dfrac{0}{0}$	Phân tích nhân tử rồi rút gọn; nhân liên hợp nếu có căn
$\dfrac{\infty}{\infty}$	Chia tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất
$\infty - \infty$	Quy đồng mẫu; nhân liên hợp; đặt nhân tử chung
$0 \cdot \infty$	Đưa về dạng $\dfrac{0}{0}$ hoặc $\dfrac{\infty}{\infty}$

Xem bài: Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

Ví dụ

Dạng 0/0

$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 5x + 6}{x - 2} = \lim_{x \to 2} (x - 3) = -1$.

Dạng ∞/∞

$\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 + x}{2x^2 - 1} = \lim \dfrac{3 + \frac{1}{x}}{2 - \frac{1}{x^2}} = \dfrac{3}{2}$.

Dạng ∞ − ∞ (căn)

$\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 2x} - x\right) = \lim \dfrac{2x}{\sqrt{x^2 + 2x} + x} = \lim \dfrac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{x}} + 1} = 1$.

Dạng ∞ − ∞ (phân thức)

$\lim_{x \to 1} \left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2}{x^2 - 1}\right) = \lim \dfrac{(x + 1) - 2}{x^2 - 1} = \lim \dfrac{1}{x + 1} = \dfrac{1}{2}$.

Dạng 0·∞

Ví dụ

$\lim_{x \to +\infty} x\left(\sqrt{1 + \dfrac{1}{x}} - 1\right)$ có dạng $\infty \cdot 0$. Nhân liên hợp: $= \lim \dfrac{x \cdot \frac{1}{x}}{\sqrt{1 + \frac{1}{x}} + 1} = \dfrac{1}{2}$.

Xem bài: Bài tập tổng hợp giới hạn và hàm số liên tục

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$.
Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + 2x}{3x^2 - 1}$.
Tính $\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)$.
Tính $\lim_{x \to 2} \left(\dfrac{1}{x - 2} - \dfrac{4}{x^2 - 4}\right)$.
Tính $\lim_{x \to 1} \dfrac{\sqrt{x + 3} - 2}{x^2 - 1}$.

Đáp án

$\lim (x + 3) = 6$.
$\dfrac{1}{3}$.
$\lim \dfrac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \dfrac{3}{2}$.
$\lim \dfrac{(x + 2) - 4}{x^2 - 4} = \lim \dfrac{1}{x + 2} = \dfrac{1}{4}$.
$\lim \dfrac{1}{(x + 1)(\sqrt{x + 3} + 2)} = \dfrac{1}{2 \cdot 4} = \dfrac{1}{8}$.