Bài tập giới hạn và hàm số liên tục lớp 11: giới hạn dãy số, hàm số, liên tục có đáp án chi tiết

Bài tập giới hạn và hàm số liên tục tổng hợp

Bài tập giới hạn và hàm số liên tục dưới đây tổng hợp toàn bộ chương: giới hạn của dãy số, tổng cấp số nhân lùi vô hạn, giới hạn của hàm số tại một điểm và tại vô cực, giới hạn một phía, các dạng vô định, tính liên tục và định lí giá trị trung gian. Mỗi bài đều có đáp án ở cuối.

Tóm tắt kiến thức cần nhớ

Xem bài: Các dạng vô định thường gặp

Xem bài: Hàm số liên tục trên một khoảng

Mẹo làm bài

• Nhận dạng vô định trước khi tính.
• Hàm chia khoảng: tính hai giới hạn một phía và so với giá trị hàm.
• Chứng minh phương trình có nghiệm: tìm hai điểm có giá trị trái dấu.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

1. Tính $\lim \dfrac{3n^2 + 2n}{n^2 - 1}$.
2. Tính $\lim \left(\sqrt{n^2 + n} - n\right)$.
3. Tính tổng $1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \cdots$.
4. Tính $\lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2}$.
5. Tính $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x - 3}$.
6. Tính $\lim_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x - 1}$.
7. Tính $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 9} - 3}{x}$.
8. Tìm $a$ để $f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & x \leq 1 \\ a x & x > 1 \end{cases}$ liên tục tại $x = 1$.
9. Hàm $f(x) = \dfrac{x}{x^2 - 4}$ gián đoạn tại những điểm nào?
10. Chứng minh $x^3 + 2x - 1 = 0$ có nghiệm trong $(0; 1)$.

Đáp án

1. $3$.
2. $\dfrac{1}{2}$.
3. $\dfrac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.
4. $4$.
5. $2$.
6. $+\infty$.
7. $\lim \dfrac{x}{x(\sqrt{x + 9} + 3)} = \dfrac{1}{6}$.
8. $f(1) = 2$; $\lim_{x \to 1^+} = a$. Liên tục khi $a = 2$.
9. Tại $x = 2$ và $x = -2$.
10. $f(x) = x^3 + 2x - 1$ liên tục, $f(0) = -1 < 0$, $f(1) = 2 > 0$ nên có nghiệm trong $(0; 1)$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Các dạng vô định thường gặp

Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục