Các quy tắc tính giới hạn của dãy số: tổng, tích, thương, căn thức và bài tập có đáp án Toán 11
Các quy tắc tính giới hạn của dãy số: giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và căn bậc hai của dãy số, điều kiện áp dụng, cách khử dạng vô định bằng nhân liên hợp, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 11.
Các quy tắc tính giới hạn của dãy số
Quy tắc tính giới hạn của dãy số cho phép tính giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương và căn bậc hai từ giới hạn của các dãy thành phần. Nếu $\lim u_n = a$ và $\lim v_n = b$ (hữu hạn) thì có các kết quả dưới đây.
Các quy tắc
| Phép toán | Kết quả | Điều kiện |
|---|---|---|
| $\lim (u_n \pm v_n)$ | $a \pm b$ | |
| $\lim (u_n v_n)$ | $ab$ | |
| $\lim \dfrac{u_n}{v_n}$ | $\dfrac{a}{b}$ | $b \neq 0$ |
| $\lim \sqrt{u_n}$ | $\sqrt{a}$ | $u_n \geq 0$, $a \geq 0$ |
| $\lim (c \cdot u_n)$ | $ca$ |
Ví dụ
Ví dụ 1
$\lim \dfrac{3n^2 - 2n + 1}{2n^2 + 5} = \lim \dfrac{3 - \frac{2}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{5}{n^2}} = \dfrac{3}{2}$.
Ví dụ 2
$\lim \left(\dfrac{2n + 1}{n + 3}\right)\left(\dfrac{n - 1}{n}\right) = 2 \cdot 1 = 2$.
Ví dụ 3: có căn
$\lim \sqrt{\dfrac{4n + 1}{n}} = \sqrt{4} = 2$.
Khử dạng vô định bằng nhân liên hợp
Ví dụ
$\lim \left(\sqrt{n + 1} - \sqrt{n}\right) = \lim \dfrac{(n + 1) - n}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{n + 1} + \sqrt{n}} = 0$.
$\lim \left(\sqrt{n^2 + n} - n\right) = \lim \dfrac{n}{\sqrt{n^2 + n} + n} = \lim \dfrac{1}{\sqrt{1 + \frac{1}{n}} + 1} = \dfrac{1}{2}$.
Dạng $\infty - \infty$ có căn: nhân và chia với biểu thức liên hợp.
Xem bài: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\lim \dfrac{n^2 - 3n + 2}{2n^2 + n}$.
- Tính $\lim \dfrac{(n + 1)(2n - 1)}{n^2 + 3}$.
- Tính $\lim \left(\sqrt{n^2 + 3n} - n\right)$.
- Tính $\lim \dfrac{\sqrt{4n^2 + 1}}{n + 2}$.
- Tính $\lim \dfrac{3^n + 2^n}{3^n - 1}$.
Đáp án
- $\dfrac{1}{2}$.
- Khai triển tử: $2n^2 + n - 1$; giới hạn $= 2$.
- $\lim \dfrac{3n}{\sqrt{n^2 + 3n} + n} = \dfrac{3}{2}$.
- Chia cho $n$: $\dfrac{\sqrt{4 + \frac{1}{n^2}}}{1 + \frac{2}{n}} \to 2$.
- Chia cho $3^n$: $\dfrac{1 + (2/3)^n}{1 - 1/3^n} \to 1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Giới hạn của dãy số
Bài tiếp theo: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
Xem tất cả bài học chủ điểm Giới hạn và hàm số liên tục
Câu hỏi thường gặp
Giới hạn của tổng hai dãy số bằng gì?
Bằng tổng hai giới hạn nếu cả hai hữu hạn.
Giới hạn của thương cần điều kiện gì?
Giới hạn của mẫu khác $0$.
Khi nào dùng nhân liên hợp?
Khi gặp hiệu hai căn thức dẫn đến dạng $\infty - \infty$.
Quy tắc căn bậc hai?
$\lim \sqrt{u_n} = \sqrt{\lim u_n}$ khi $u_n \geq 0$.