Tính xác suất bằng phương pháp tổ hợp: lấy bi, chọn người và bài tập có đáp án Toán lớp 10

Tính xác suất bằng phương pháp tổ hợp dùng số tổ hợp C(n, k) để đếm n(Ω) và n(A) trong các bài toán lấy bi, chọn người, chọn bài. Các bước giải, ví dụ chi tiết, dùng biến cố đối với cụm từ ít nhất, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

$Tính xác suất bằng phương pháp tổ hợp: lấy bi, chọn người và bài tập có đáp án Toán lớp 10$

Tính xác suất bằng phương pháp tổ hợp

Tính xác suất bằng phương pháp tổ hợp là cách giải các bài toán lấy ngẫu nhiên một số phần tử (bi, người, thẻ) từ một tập: ta dùng số tổ hợp $C_n^k$ để đếm số phần tử của không gian mẫu và của biến cố, rồi áp dụng $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$.

Các bước giải

Xác định phép thử và đếm $n(\Omega)$ bằng tổ hợp (chọn không quan tâm thứ tự).
Đếm $n(A)$ bằng tổ hợp và quy tắc nhân (chọn từng nhóm rồi nhân).
Tính $P(A) = \dfrac{n(A)}{n(\Omega)}$; với "ít nhất" có thể dùng $P(A) = 1 - P(\overline{A})$.

Xem bài: Tổ hợp

Ví dụ 1: lấy bi

Đề bài

Hộp có $5$ bi đỏ và $4$ bi xanh. Lấy ngẫu nhiên $3$ bi. Tính xác suất để: a) cả ba bi đỏ; b) có đúng $2$ bi đỏ.

Lời giải

$n(\Omega) = C_9^3 = 84$.
a) $n(A) = C_5^3 = 10$ nên $P(A) = \dfrac{10}{84} = \dfrac{5}{42}$.
b) $n(B) = C_5^2 \cdot C_4^1 = 10 \cdot 4 = 40$ nên $P(B) = \dfrac{40}{84} = \dfrac{10}{21}$.

Ví dụ 2: chọn người, dùng biến cố đối

Đề bài

Chọn ngẫu nhiên $2$ người từ $10$ người gồm $6$ nam và $4$ nữ. Tính xác suất có ít nhất $1$ nam.

Lời giải

$n(\Omega) = C_{10}^2 = 45$.
Biến cố đối: "cả hai đều là nữ", $n(\overline{A}) = C_4^2 = 6$ nên $P(\overline{A}) = \dfrac{6}{45} = \dfrac{2}{15}$.
$P(A) = 1 - \dfrac{2}{15} = \dfrac{13}{15}$.

Cụm "ít nhất" nên dùng biến cố đối.

Xem bài: Xác suất của biến cố theo định nghĩa cổ điển

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Hộp có $6$ bi trắng và $4$ bi đen. Lấy $2$ bi. Tính xác suất được hai bi trắng.
Chọn $3$ học sinh từ $5$ nam và $3$ nữ. Tính xác suất có đúng $2$ nam.
Từ $7$ học sinh gồm $4$ nam, $3$ nữ chọn $2$ bạn. Tính xác suất có ít nhất $1$ nữ.
Rút $2$ lá bài từ $52$ lá. Tính xác suất cả hai lá đều là cơ ($13$ lá cơ).
Từ $10$ thẻ đánh số $1$ đến $10$ rút $2$ thẻ. Tính xác suất tổng hai số chẵn.

Đáp án

$\dfrac{C_6^2}{C_{10}^2} = \dfrac{15}{45} = \dfrac{1}{3}$.
$\dfrac{C_5^2 \cdot C_3^1}{C_8^3} = \dfrac{30}{56} = \dfrac{15}{28}$.
$1 - \dfrac{C_4^2}{C_7^2} = 1 - \dfrac{6}{21} = \dfrac{5}{7}$.
$\dfrac{C_{13}^2}{C_{52}^2} = \dfrac{78}{1326} = \dfrac{1}{17}$.
Tổng chẵn khi cùng chẵn hoặc cùng lẻ: $\dfrac{C_5^2 + C_5^2}{C_{10}^2} = \dfrac{20}{45} = \dfrac{4}{9}$.