Tổ hợp: định nghĩa, công thức C(n, k) = n!/(k!(n − k)!), tính chất và bài tập có đáp án Toán 10
Tổ hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử trong n phần tử mà không quan tâm thứ tự. Số tổ hợp C(n, k) = n! / (k!(n − k)!). Định nghĩa, công thức, tính chất, ví dụ chọn nhóm, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Tổ hợp là gì?
Tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($0 \leq k \leq n$) là một cách chọn $k$ phần tử trong $n$ phần tử mà không quan tâm đến thứ tự. Số tổ hợp chập $k$ của $n$ phần tử kí hiệu là $C_n^k$ và $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$.
Công thức và tính chất
- $C_n^0 = C_n^n = 1$, $C_n^1 = n$.
- Đối xứng: $C_n^k = C_n^{n - k}$.
- Pascal: $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$.
- Tổng: $C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$.
Ví dụ
Ví dụ 1
Chọn $3$ học sinh từ $10$ học sinh đi dự trại (không phân biệt vai trò): $C_{10}^3 = \dfrac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 120$.
Ví dụ 2: chọn nhiều nhóm
Chọn $2$ nam từ $5$ nam và $3$ nữ từ $6$ nữ: $C_5^2 \cdot C_6^3 = 10 \cdot 20 = 200$ cách.
Hai nhóm chọn liên tiếp nên nhân.
Ví dụ 3: ít nhất
Chọn $3$ người từ $4$ nam và $3$ nữ sao cho có ít nhất $1$ nữ: tổng $C_7^3 = 35$ trừ trường hợp không có nữ $C_4^3 = 4$.
$35 - 4 = 31$ cách.
Dùng phần bù cho bài toán "ít nhất".
Xem bài: Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Mẹo tính nhanh
Dùng tính chất đối xứng để rút gọn: $C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45$. Tính $C_n^k$ bằng cách viết $k$ thừa số giảm dần từ $n$ ở tử và $k!$ ở mẫu.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $C_8^3$ và $C_{10}^8$.
- Chọn $4$ học sinh từ $15$ học sinh. Có bao nhiêu cách?
- Một hộp có $5$ bi đỏ và $4$ bi xanh. Lấy $3$ bi gồm $2$ đỏ và $1$ xanh: có bao nhiêu cách?
- Chọn $3$ người từ $5$ nam và $4$ nữ sao cho có ít nhất $1$ nam.
- Chứng minh $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$ cho trường hợp $n = 4$, $k = 1$.
Đáp án
- $C_8^3 = 56$; $C_{10}^8 = C_{10}^2 = 45$.
- $C_{15}^4 = \dfrac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12}{24} = 1365$ cách.
- $C_5^2 \cdot C_4^1 = 10 \cdot 4 = 40$ cách.
- $C_9^3 - C_4^3 = 84 - 4 = 80$ cách.
- $C_4^1 + C_4^2 = 4 + 6 = 10 = C_5^2$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Xem tất cả bài học chủ điểm Đại số tổ hợp
Câu hỏi thường gặp
Tổ hợp là gì?
Là cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử mà không quan tâm thứ tự.
Công thức số tổ hợp?
$C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$.
Tổ hợp khác chỉnh hợp thế nào?
Tổ hợp không tính thứ tự, nên $C_n^k = \dfrac{A_n^k}{k!}$.
Giải bài toán "ít nhất" thế nào?
Lấy tổng số cách trừ số cách không thỏa điều kiện.