Chỉnh hợp: định nghĩa, công thức A(n, k) = n!/(n − k)!, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 10
Chỉnh hợp chập k của n phần tử là một cách chọn k phần tử trong n phần tử rồi sắp xếp thứ tự. Số chỉnh hợp A(n, k) = n! / (n − k)!. Định nghĩa, công thức, ví dụ chọn ban cán sự, lập số, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Chỉnh hợp là gì?
Chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử ($1 \leq k \leq n$) là một cách chọn $k$ phần tử trong $n$ phần tử rồi sắp xếp chúng theo một thứ tự. Số chỉnh hợp chập $k$ của $n$ phần tử kí hiệu là $A_n^k$ và $A_n^k = \dfrac{n!}{(n - k)!}$.
Công thức chỉnh hợp
Giải thích: vị trí thứ nhất có $n$ cách chọn, vị trí thứ hai $n - 1$ cách, ..., vị trí thứ $k$ có $n - k + 1$ cách. Theo quy tắc nhân được tích đó. Khi $k = n$ thì $A_n^n = n! = P_n$.
Ví dụ
Ví dụ 1: chọn ban cán sự
Từ $10$ học sinh chọn lớp trưởng, lớp phó, bí thư (khác nhau): $A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720$ cách.
Vì các chức vụ khác nhau nên thứ tự có ý nghĩa.
Ví dụ 2: lập số
Số các số tự nhiên có $3$ chữ số khác nhau lập từ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$: $A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$.
Ví dụ 3
Có $8$ vận động viên chạy; trao huy chương vàng, bạc, đồng: $A_8^3 = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ cách.
Khi nào dùng chỉnh hợp
- Chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử.
- Thứ tự các phần tử được chọn có ý nghĩa (các vị trí khác nhau).
- Không lặp lại phần tử.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $A_7^2$ và $A_5^5$.
- Từ $12$ người chọn chủ tịch, phó chủ tịch và thư ký. Có bao nhiêu cách?
- Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau lập từ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$?
- Một cuộc đua có $6$ người, có bao nhiêu cách trao giải nhất, nhì, ba?
- Giải phương trình $A_n^2 = 20$ ($n \in \mathbb{N}$, $n \geq 2$).
Đáp án
- $A_7^2 = 42$; $A_5^5 = 120$.
- $A_{12}^3 = 12 \cdot 11 \cdot 10 = 1320$ cách.
- $A_5^4 = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 = 120$ số.
- $A_6^3 = 120$ cách.
- $n(n - 1) = 20 \Leftrightarrow n^2 - n - 20 = 0 \Leftrightarrow n = 5$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Xem tất cả bài học chủ điểm Đại số tổ hợp
Câu hỏi thường gặp
Chỉnh hợp là gì?
Là cách chọn $k$ phần tử từ $n$ phần tử rồi sắp xếp theo thứ tự.
Công thức số chỉnh hợp?
$A_n^k = \dfrac{n!}{(n - k)!}$.
Khi nào dùng chỉnh hợp?
Khi chọn và thứ tự các phần tử được chọn có ý nghĩa.
Chỉnh hợp khác tổ hợp ra sao?
Chỉnh hợp tính thứ tự, tổ hợp không tính thứ tự.