Hoán vị: định nghĩa, công thức P(n) = n!, ví dụ xếp chỗ và bài tập có đáp án Toán lớp 10

Hoán vị của n phần tử là một cách sắp xếp thứ tự n phần tử đó. Số hoán vị Pₙ = n!. Định nghĩa, công thức, giai thừa, ví dụ xếp người, xếp sách, bài toán có điều kiện cạnh nhau, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

$Hoán vị: định nghĩa, công thức P(n) = n!, ví dụ xếp chỗ và bài tập có đáp án Toán lớp 10$

Hoán vị là gì?

Hoán vị của $n$ phần tử phân biệt là một cách sắp xếp có thứ tự toàn bộ $n$ phần tử đó. Số hoán vị của $n$ phần tử kí hiệu là $P_n$ và $P_n = n!$, trong đó $n! = n(n - 1)(n - 2) \cdots 2 \cdot 1$ đọc là "n giai thừa".

Công thức hoán vị

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$n!$	$1$	$2$	$6$	$24$	$120$	$720$

Giải thích: vị trí đầu có $n$ cách chọn, vị trí thứ hai $n - 1$ cách, ... vị trí cuối $1$ cách. Theo quy tắc nhân được $n!$.

Xem bài: Quy tắc nhân

Ví dụ

Ví dụ 1

Xếp $5$ bạn thành một hàng ngang: $P_5 = 5! = 120$ cách.

Ví dụ 2: số có chữ số khác nhau

Lập các số tự nhiên có $4$ chữ số khác nhau từ $\{1, 2, 3, 4\}$: $P_4 = 24$ số.

Ví dụ 3: cạnh nhau

Xếp $3$ bạn nam và $2$ bạn nữ thành hàng ngang sao cho $3$ bạn nam đứng cạnh nhau.
Gộp $3$ nam thành một khối: xếp khối và $2$ nữ có $3! = 6$ cách; trong khối xếp $3$ nam có $3! = 6$ cách.
Tổng: $6 \cdot 6 = 36$ cách.

Kĩ thuật "buộc dây": gộp các phần tử phải đứng cạnh nhau thành một khối.

Hoán vị và điều kiện đặc biệt

Hai phần tử không đứng cạnh nhau: lấy tổng trừ trường hợp đứng cạnh nhau.
Một phần tử cố định ở vị trí đầu: xếp $(n - 1)$ phần tử còn lại, được $(n - 1)!$ cách.

Xem bài: Chỉnh hợp

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Có bao nhiêu cách xếp $6$ học sinh thành một hàng?
Có bao nhiêu số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau lập từ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$?
Xếp $4$ nam và $3$ nữ thành hàng ngang sao cho $3$ nữ đứng cạnh nhau.
Xếp $5$ người quanh một bàn tròn có $5$ ghế đánh số. Có bao nhiêu cách?
Tính $\dfrac{7!}{5!}$.

Đáp án

$6! = 720$ cách.
$5! = 120$ số.
Khối nữ + $4$ nam: $5! = 120$ cách; trong khối nữ: $3! = 6$. Tổng $120 \cdot 6 = 720$ cách.
$5! = 120$ cách (ghế đánh số nên khác nhau).
$7 \cdot 6 = 42$.