Quy tắc nhân: định nghĩa, cách áp dụng, ví dụ đếm số và bài tập có đáp án Toán lớp 10
Quy tắc nhân: một công việc gồm hai bước liên tiếp, bước 1 có m cách và bước 2 có n cách thì có m·n cách. Định nghĩa, mở rộng nhiều bước, ví dụ đếm số, biển số, trang phục, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.
Quy tắc nhân là gì?
Quy tắc nhân dùng khi một công việc gồm nhiều bước thực hiện liên tiếp: nếu bước 1 có $m$ cách và ứng với mỗi cách đó, bước 2 có $n$ cách thì cả công việc có $m \cdot n$ cách. Từ khóa nhận biết là "và", "rồi", "liên tiếp".
Phát biểu quy tắc nhân
Mở rộng: công việc gồm $k$ bước với $m_1, m_2, \ldots, m_k$ cách thì có $m_1 \cdot m_2 \cdots m_k$ cách.
Ví dụ
Ví dụ 1
Một người có $3$ áo và $4$ quần. Chọn một bộ gồm một áo và một quần: $3 \cdot 4 = 12$ cách.
Ví dụ 2: đếm số
Có bao nhiêu số tự nhiên có $3$ chữ số?
Chữ số hàng trăm: $9$ cách ($1$ đến $9$); hàng chục: $10$ cách; hàng đơn vị: $10$ cách.
$9 \cdot 10 \cdot 10 = 900$ số.
Ví dụ 3: số chẵn
Số các số tự nhiên chẵn có $3$ chữ số: hàng trăm $9$ cách, hàng chục $10$ cách, hàng đơn vị $5$ cách ($0, 2, 4, 6, 8$).
$9 \cdot 10 \cdot 5 = 450$ số.
Ví dụ 4: chữ số khác nhau
Số các số có $3$ chữ số khác nhau lập từ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$.
Mỗi bước sau có ít lựa chọn hơn bước trước vì không được lặp.
Cách nhận biết dùng quy tắc nhân
- Công việc chia thành các bước, bước nào cũng phải thực hiện.
- Số cách ở mỗi bước không phụ thuộc cách chọn trước (hoặc đã tính đúng sau khi chọn).
- Kết quả là tích số cách của từng bước.
Xem bài: Sơ đồ hình cây trong bài toán đếm
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Có $4$ con đường từ A đến B và $3$ con đường từ B đến C. Có bao nhiêu cách đi từ A đến C qua B?
- Có bao nhiêu số tự nhiên có $4$ chữ số?
- Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ có $3$ chữ số khác nhau lập từ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$?
- Một mật khẩu gồm $1$ chữ cái (26 chữ cái) và $2$ chữ số. Có bao nhiêu mật khẩu?
- Có bao nhiêu cách xếp $3$ bạn vào $3$ chỗ ngồi khác nhau?
Đáp án
- $4 \cdot 3 = 12$ cách.
- $9 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 9000$ số.
- Hàng đơn vị lẻ: $3$ cách ($1, 3, 5$); hàng trăm: $4$ cách; hàng chục: $3$ cách. $3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$ số.
- $26 \cdot 10 \cdot 10 = 2600$ mật khẩu.
- $3 \cdot 2 \cdot 1 = 6$ cách.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Sơ đồ hình cây trong bài toán đếm
Xem tất cả bài học chủ điểm Đại số tổ hợp
Câu hỏi thường gặp
Quy tắc nhân dùng khi nào?
Khi công việc gồm nhiều bước liên tiếp, bước nào cũng phải làm.
Quy tắc nhân viết thế nào?
$m \cdot n$ cho hai bước, mở rộng $m_1 m_2 \cdots m_k$.
Đếm số có chữ số khác nhau thế nào?
Mỗi chữ số chọn xong thì số lựa chọn cho chữ số sau giảm đi một.
Quy tắc nhân khác quy tắc cộng ra sao?
Nhân cho các bước làm liên tiếp, cộng cho các phương án thay thế nhau.