Sơ đồ hình cây trong bài toán đếm: cách vẽ, ví dụ tung đồng xu, chọn đồ và bài tập có đáp án

Sơ đồ hình cây là gì?

Sơ đồ hình cây là cách biểu diễn trực quan để liệt kê và đếm các kết quả của một công việc gồm nhiều bước. Mỗi bước được vẽ bằng một tầng nhánh, mỗi đường đi từ gốc đến ngọn tương ứng với một cách thực hiện. Tổng số ngọn chính là số cách.

Cách vẽ sơ đồ hình cây

1. Xác định các bước của công việc.
2. Từ gốc, vẽ các nhánh ứng với các lựa chọn ở bước 1.
3. Từ ngọn mỗi nhánh vẽ tiếp các nhánh của bước 2, và cứ thế đến hết.
4. Mỗi đường từ gốc đến ngọn là một cách; đếm số ngọn.

Xem bài: Quy tắc nhân

Ví dụ 1: tung đồng xu ba lần

Mỗi lần tung có hai kết quả $S$ (sấp) hoặc $N$ (ngửa). Sơ đồ có $3$ tầng, mỗi nút chia $2$ nhánh nên tổng số kết quả là $2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$.

Ví dụ 2: chọn trang phục

Khi nào dùng sơ đồ hình cây

Sơ đồ hình cây phù hợp khi số bước và số lựa chọn nhỏ, hoặc khi các bước phụ thuộc nhau (số nhánh khác nhau ở từng nút). Khi số lượng lớn nên dùng quy tắc nhân, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp.

Xem bài: Hoán vị

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

1. Vẽ sơ đồ hình cây để đếm số kết quả khi tung đồng xu hai lần.
2. Một bữa ăn gồm $1$ món chính (3 món), $1$ món canh (2 món). Có bao nhiêu thực đơn?
3. Lập các số có hai chữ số khác nhau từ $\{1, 2, 3\}$ bằng sơ đồ hình cây.
4. Tung một con xúc xắc rồi một đồng xu. Có bao nhiêu kết quả?
5. Giải thích mối liên hệ giữa sơ đồ hình cây và quy tắc nhân.

Đáp án

1. $4$ kết quả: $SS, SN, NS, NN$.
2. $3 \cdot 2 = 6$ thực đơn.
3. $12, 13, 21, 23, 31, 32$: $6$ số ($3 \cdot 2 = 6$).
4. $6 \cdot 2 = 12$ kết quả.
5. Số ngọn của sơ đồ bằng tích số nhánh ở từng tầng, đúng bằng kết quả của quy tắc nhân.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Quy tắc nhân

Bài tiếp theo: Hoán vị

Xem tất cả bài học chủ điểm Đại số tổ hợp