Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp: bảng so sánh, cách nhận biết và bài tập có đáp án Toán 10
Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp dựa vào hai câu hỏi: có dùng hết phần tử không và thứ tự có quan trọng không. Bảng so sánh công thức, mẹo nhận biết, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Cách phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp là kĩ năng quan trọng nhất của chương đại số tổ hợp. Chỉ cần tự hỏi hai câu: có sắp xếp toàn bộ $n$ phần tử không, và thứ tự các phần tử được chọn có quan trọng không, ta chọn đúng công thức.
Bảng so sánh
| Khái niệm | Chọn bao nhiêu | Thứ tự | Công thức |
|---|---|---|---|
| Hoán vị | Cả $n$ phần tử | Có | $P_n = n!$ |
| Chỉnh hợp | $k$ trong $n$ | Có | $A_n^k = \dfrac{n!}{(n - k)!}$ |
| Tổ hợp | $k$ trong $n$ | Không | $C_n^k = \dfrac{n!}{k!(n - k)!}$ |
Hai câu hỏi nhận biết
- Có dùng hết cả $n$ phần tử để sắp xếp không? Nếu có thì là hoán vị.
- Nếu chỉ chọn $k$ phần tử: đổi chỗ các phần tử được chọn có tạo ra cách mới không? Có thì là chỉnh hợp, không thì là tổ hợp.
Ví dụ so sánh cùng dữ kiện
Ví dụ
Từ $5$ người:
- Xếp cả $5$ người vào hàng: $P_5 = 120$ (hoán vị).
- Chọn $3$ người làm trưởng, phó, thư ký: $A_5^3 = 60$ (chỉnh hợp).
- Chọn $3$ người vào ban kiểm tra: $C_5^3 = 10$ (tổ hợp).
Quan hệ: $A_5^3 = C_5^3 \cdot 3!$ vì mỗi tổ hợp có $3!$ cách sắp xếp.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Chọn $2$ người từ $6$ người đi dự hội nghị (không phân vai). Dùng công thức nào và kết quả?
- Chọn $2$ người từ $6$ người làm trưởng đoàn và phó đoàn. Kết quả?
- Xếp $4$ sách khác nhau lên giá. Kết quả?
- Từ $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ lập số có $3$ chữ số khác nhau. Kết quả?
- Chọn $3$ bi từ $8$ bi khác nhau (không phân biệt thứ tự). Kết quả?
Đáp án
- Tổ hợp: $C_6^2 = 15$.
- Chỉnh hợp: $A_6^2 = 30$.
- Hoán vị: $P_4 = 24$.
- Chỉnh hợp: $A_5^3 = 60$.
- Tổ hợp: $C_8^3 = 56$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Nhị thức Newton
Xem tất cả bài học chủ điểm Đại số tổ hợp
Câu hỏi thường gặp
Làm sao phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp?
Chỉnh hợp có tính thứ tự, tổ hợp không; thử đổi chỗ các phần tử được chọn xem có tạo cách mới không.
Khi nào dùng hoán vị?
Khi sắp xếp toàn bộ $n$ phần tử.
Có mối liên hệ nào giữa ba khái niệm?
$A_n^k = C_n^k \cdot k!$ và $P_n = A_n^n$.
Từ khóa nhận biết là gì?
Xếp, chức vụ, số khác nhau là chỉnh hợp; chọn nhóm là tổ hợp.