Nhị thức Newton: công thức khai triển (a + b)ⁿ, số hạng tổng quát, tam giác Pascal và bài tập có đáp án
Nhị thức Newton cho công thức khai triển (a + b)ⁿ = Σ C(n, k)·aⁿ⁻ᵏ·bᵏ. Số hạng tổng quát, hệ số nhị thức, tam giác Pascal, cách tìm hệ số của một số hạng, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Nhị thức Newton là gì?
Nhị thức Newton là công thức khai triển lũy thừa của một tổng hai số: $(a + b)^n = \sum_{k = 0}^{n} C_n^k a^{n - k} b^k$. Các hệ số $C_n^k$ gọi là hệ số nhị thức và có thể đọc từ tam giác Pascal.
Công thức khai triển
Ví dụ
$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3 b + 6a^2 b^2 + 4a b^3 + b^4$.
$(x + 2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8$.
Số mũ của $a$ giảm từ $n$ về $0$, số mũ của $b$ tăng từ $0$ lên $n$.
Tam giác Pascal
| $n$ | Các hệ số $C_n^0, C_n^1, \ldots, C_n^n$ |
|---|---|
| $0$ | $1$ |
| $1$ | $1\ \ 1$ |
| $2$ | $1\ \ 2\ \ 1$ |
| $3$ | $1\ \ 3\ \ 3\ \ 1$ |
| $4$ | $1\ \ 4\ \ 6\ \ 4\ \ 1$ |
| $5$ | $1\ \ 5\ \ 10\ \ 10\ \ 5\ \ 1$ |
Mỗi số bằng tổng hai số đứng ngay trên nó: $C_n^k + C_n^{k + 1} = C_{n + 1}^{k + 1}$.
Các bài toán thường gặp
Tìm hệ số
Hệ số của $x^3$ trong $(2x - 1)^5$: $T_{k + 1} = C_5^k (2x)^{5 - k}(-1)^k$. Cần $5 - k = 3$ nên $k = 2$.
$C_5^2 \cdot 2^3 \cdot (-1)^2 = 10 \cdot 8 = 80$.
Tổng các hệ số
Thay $a = b = 1$: $C_n^0 + C_n^1 + \cdots + C_n^n = 2^n$. Tổng hệ số của $(2x - 1)^5$ lấy $x = 1$: $(2 - 1)^5 = 1$.
Xem bài: Bài tập tổng hợp đại số tổ hợp
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Khai triển $(x + 1)^5$.
- Khai triển $(a - b)^3$.
- Tìm hệ số của $x^2$ trong $(1 + x)^6$.
- Tìm số hạng không chứa $x$ trong $\left(x + \dfrac{1}{x}\right)^4$.
- Tính tổng $C_6^0 + C_6^1 + \cdots + C_6^6$.
Đáp án
- $x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1$.
- $a^3 - 3a^2 b + 3a b^2 - b^3$.
- $C_6^2 = 15$.
- $T_{k + 1} = C_4^k x^{4 - k}x^{-k} = C_4^k x^{4 - 2k}$; $4 - 2k = 0 \Rightarrow k = 2$: $C_4^2 = 6$.
- $2^6 = 64$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phân biệt hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Bài tiếp theo: Bài tập tổng hợp đại số tổ hợp
Xem tất cả bài học chủ điểm Đại số tổ hợp
Câu hỏi thường gặp
Nhị thức Newton là gì?
Là công thức khai triển $(a + b)^n$ thành tổng các số hạng $C_n^k a^{n - k} b^k$.
Khai triển $(a + b)^n$ có bao nhiêu số hạng?
$n + 1$ số hạng.
Tam giác Pascal dùng để làm gì?
Cho các hệ số $C_n^k$ của khai triển.
Tổng các hệ số nhị thức là gì?
$2^n$.