Tập con và hai tập hợp bằng nhau: định nghĩa, tính chất, số tập con và bài tập có đáp án
Tập con của tập hợp A là tập mà mọi phần tử đều thuộc A. Bài viết nêu định nghĩa tập con, tính chất, hai tập hợp bằng nhau, công thức đếm số tập con, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.
Tập con là gì?
Tập con là tập hợp mà mọi phần tử của nó đều thuộc một tập hợp khác. Hai tập hợp bằng nhau khi mỗi tập là tập con của tập còn lại. Đây là khái niệm nền tảng cho các phép toán giao, hợp, hiệu của tập hợp.
Định nghĩa tập con
Ví dụ
$\{1; 2\} \subset \{1; 2; 3\}$.
$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$.
Mỗi phần tử của tập nhỏ đều thuộc tập lớn.
Xem bài: Tập hợp và cách xác định tập hợp
Tính chất của quan hệ tập con
- $A \subset A$ với mọi tập $A$.
- $\emptyset \subset A$ với mọi tập $A$.
- Bắc cầu: $A \subset B$ và $B \subset C$ thì $A \subset C$.
Hai tập hợp bằng nhau
$A = B$ khi và chỉ khi $A \subset B$ và $B \subset A$, tức là hai tập có cùng các phần tử.
Ví dụ
$A = \{x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 1 = 0\}$ và $B = \{-1; 1\}$ nên $A = B$.
Để chứng minh $A = B$ ta chứng minh hai chiều $A \subset B$ và $B \subset A$.
Số tập con của một tập hữu hạn
| Tập hợp | Số phần tử | Số tập con |
|---|---|---|
| $\emptyset$ | $0$ | $1$ |
| $\{a\}$ | $1$ | $2$ |
| $\{a; b\}$ | $2$ | $4$ |
| $\{a; b; c\}$ | $3$ | $8$ |
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Liệt kê tất cả tập con của $A = \{1; 2; 3\}$.
- Tập hợp $B = \{a; b; c; d\}$ có bao nhiêu tập con?
- Cho $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 3\}$ và $B = \{0; 1; 2\}$. Hai tập này có bằng nhau không?
- Điền kí hiệu $\in$, $\subset$ vào chỗ trống: $2 \ldots \{1; 2\}$; $\{2\} \ldots \{1; 2\}$.
- Tập $A$ có $5$ phần tử. $A$ có bao nhiêu tập con khác rỗng?
Đáp án
- $\emptyset$, $\{1\}$, $\{2\}$, $\{3\}$, $\{1;2\}$, $\{1;3\}$, $\{2;3\}$, $\{1;2;3\}$ ($8$ tập con).
- $2^4 = 16$ tập con.
- Có, vì $A = \{0; 1; 2\} = B$.
- $2 \in \{1; 2\}$; $\{2\} \subset \{1; 2\}$.
- $2^5 - 1 = 31$ tập con khác rỗng.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Tập hợp và cách xác định tập hợp
Bài tiếp theo: Giao của hai tập hợp
Xem tất cả bài học chủ điểm Mệnh đề và tập hợp
Câu hỏi thường gặp
Tập con là gì?
Tập $A$ là tập con của $B$ nếu mọi phần tử của $A$ đều thuộc $B$, kí hiệu $A \subset B$.
Tập rỗng có phải tập con của mọi tập không?
Có. $\emptyset \subset A$ với mọi tập hợp $A$.
Tập có $n$ phần tử có bao nhiêu tập con?
Có $2^n$ tập con, kể cả tập rỗng và chính nó.
Làm sao chứng minh hai tập hợp bằng nhau?
Chứng minh $A \subset B$ và $B \subset A$.