Mệnh đề tương đương và điều kiện cần và đủ: định nghĩa, bảng chân lí, bài tập có đáp án

Mệnh đề tương đương là gì?

Mệnh đề tương đương của hai mệnh đề $P$ và $Q$ là mệnh đề "$P$ khi và chỉ khi $Q$", kí hiệu $P \Leftrightarrow Q$. Mệnh đề này đúng khi $P$ và $Q$ cùng đúng hoặc cùng sai, và sai trong các trường hợp còn lại.

Định nghĩa và bảng chân lí

Xem bài: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo

Điều kiện cần và đủ

Nếu $P \Leftrightarrow Q$ đúng thì $P$ là điều kiện cần và đủ để có $Q$ (và ngược lại). Cách nói khác: "$P$ khi và chỉ khi $Q$", "$P$ nếu và chỉ nếu $Q$".

Cách chứng minh hai mệnh đề tương đương

1. Chứng minh chiều thuận: $P \Rightarrow Q$.
2. Chứng minh chiều đảo: $Q \Rightarrow P$.
3. Kết luận $P \Leftrightarrow Q$.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

1. Phát biểu mệnh đề "$x^2 = 4$ khi và chỉ khi $x = 2$" và xét đúng sai.
2. Xét đúng sai: "Tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có bốn cạnh bằng nhau".
3. Cho $P$: "$2 > 1$", $Q$: "$3 < 2$". Xét giá trị chân lí của $P \Leftrightarrow Q$.
4. Phát biểu điều kiện cần và đủ để số tự nhiên $n$ chia hết cho $5$ (xét chữ số tận cùng).
5. Phát biểu "Nếu $a = b$ thì $a^2 = b^2$" có tương đương với "$a = b$ thì $a^2 = b^2$ và ngược lại" không?

Đáp án

1. Sai, vì chiều đảo đúng nhưng chiều thuận sai ($x = -2$ cũng thỏa $x^2 = 4$).
2. Đúng, vì hai chiều đều đúng.
3. $P$ đúng, $Q$ sai nên $P \Leftrightarrow Q$ sai.
4. $n$ chia hết cho $5$ khi và chỉ khi chữ số tận cùng của $n$ là $0$ hoặc $5$.
5. Không. Chiều đảo "$a^2 = b^2$ thì $a = b$" sai, chẳng hạn $a = 2$, $b = -2$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo

Bài tiếp theo: Mệnh đề chứa biến

Xem tất cả bài học chủ điểm Mệnh đề và tập hợp