Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo: định nghĩa, bảng chân lí và bài tập có đáp án

Mệnh đề kéo theo là gì?

Mệnh đề kéo theo là mệnh đề có dạng "Nếu $P$ thì $Q$", kí hiệu $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi $P$ đúng và $Q$ sai. Hầu hết các định lí trong Toán học đều được phát biểu dưới dạng mệnh đề kéo theo, vì vậy đây là phần kiến thức cần nắm vững.

Định nghĩa mệnh đề kéo theo

Khi $P$ sai thì mệnh đề $P \Rightarrow Q$ luôn đúng, bất kể $Q$ đúng hay sai. Đây là điểm dễ gây nhầm lẫn nhất.

Điều kiện đủ và điều kiện cần

Khi $P \Rightarrow Q$ là mệnh đề đúng, ta nói $P$ là điều kiện đủ để có $Q$, và $Q$ là điều kiện cần để có $P$.

Mệnh đề đảo

Mệnh đề $Q \Rightarrow P$ gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề $P \Rightarrow Q$. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng chưa chắc đúng.

Xem bài: Mệnh đề tương đương và điều kiện cần đủ

Cách chứng minh mệnh đề kéo theo

1. Giả sử $P$ đúng.
2. Dùng các tính chất, định nghĩa đã biết để suy ra $Q$ đúng.
3. Kết luận mệnh đề $P \Rightarrow Q$ đúng.

Để chứng minh $P \Rightarrow Q$ sai chỉ cần chỉ ra một trường hợp $P$ đúng mà $Q$ sai (phản ví dụ). Mệnh đề phủ định của $P \Rightarrow Q$ chính là "$P$ và $\overline{Q}$".

Xem bài: Mệnh đề phủ định

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

1. Xét tính đúng sai của mệnh đề: "Nếu $2 + 3 = 6$ thì $5 > 4$".
2. Phát biểu mệnh đề đảo của: "Nếu tứ giác là hình chữ nhật thì nó có hai đường chéo bằng nhau" và xét đúng sai.
3. Cho $P \Rightarrow Q$: "Nếu $a > 0$ và $b > 0$ thì $a + b > 0$". Chỉ ra điều kiện đủ và điều kiện cần.
4. Lập mệnh đề phủ định của "Nếu $x > 1$ thì $x^2 > 1$".
5. Mệnh đề đảo của "Nếu $a = b$ thì $a^2 = b^2$" có đúng không?

Đáp án

1. Mệnh đề đúng, vì giả thiết $2 + 3 = 6$ sai nên mệnh đề kéo theo đúng.
2. Đảo: "Nếu tứ giác có hai đường chéo bằng nhau thì nó là hình chữ nhật", là mệnh đề sai (hình thang cân là phản ví dụ).
3. Điều kiện đủ để $a + b > 0$ là $a > 0$ và $b > 0$. Điều kiện cần để $a > 0$ và $b > 0$ là $a + b > 0$.
4. "$x > 1$ và $x^2 \leq 1$".
5. Không đúng. Đảo: "Nếu $a^2 = b^2$ thì $a = b$" sai, chẳng hạn $a = 2$, $b = -2$.

Tổng kết

Bài học liên quan

Bài trước: Mệnh đề phủ định

Bài tiếp theo: Mệnh đề tương đương và điều kiện cần đủ

Xem tất cả bài học chủ điểm Mệnh đề và tập hợp