Mệnh đề phủ định: cách lập, quy tắc phủ định và bài tập có đáp án Toán 10
Mệnh đề phủ định của mệnh đề P là mệnh đề đúng khi P sai và sai khi P đúng. Cách lập mệnh đề phủ định với dấu lớn hơn, nhỏ hơn, bằng, chia hết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Mệnh đề phủ định là gì?
Mệnh đề phủ định của mệnh đề $P$, kí hiệu $\overline{P}$, là mệnh đề đúng khi $P$ sai và sai khi $P$ đúng. Đây là kiến thức quan trọng khi làm bài chứng minh phản chứng và khi phủ định các mệnh đề chứa kí hiệu với mọi, tồn tại ở các bài sau.
Định nghĩa mệnh đề phủ định
| $P$ | $\overline{P}$ |
|---|---|
| Đúng | Sai |
| Sai | Đúng |
Nói cách khác, $P$ và $\overline{P}$ luôn có giá trị chân lí trái ngược nhau. Phủ định của phủ định trả về mệnh đề ban đầu: $\overline{\overline{P}} = P$.
Cách lập mệnh đề phủ định
Cách đơn giản nhất là thêm "không" hoặc "không phải" vào trước mệnh đề. Tuy nhiên với các phép so sánh, nên dùng các cặp phủ định dưới đây để câu rõ ràng hơn.
| Mệnh đề $P$ | Mệnh đề phủ định $\overline{P}$ |
|---|---|
| $a = b$ | $a \neq b$ |
| $a > b$ | $a \leq b$ |
| $a < b$ | $a \geq b$ |
| $a \geq b$ | $a < b$ |
| $a$ chia hết cho $b$ | $a$ không chia hết cho $b$ |
| $n$ là số nguyên tố | $n$ không phải là số nguyên tố |
Ví dụ
P: "$5 > 3$" (đúng) nên $\overline{P}$: "$5 \leq 3$" (sai).
Q: "$12$ chia hết cho $5$" (sai) nên $\overline{Q}$: "$12$ không chia hết cho $5$" (đúng).
Giá trị chân lí của hai mệnh đề luôn trái ngược nhau.
Phủ định của mệnh đề có kí hiệu với mọi và tồn tại
Khi mệnh đề có kí hiệu $\forall$ (với mọi) hoặc $\exists$ (tồn tại), phủ định phải đổi kí hiệu: $\forall$ thành $\exists$ và ngược lại, đồng thời phủ định phần còn lại.
| Mệnh đề | Phủ định |
|---|---|
| $\forall x, P(x)$ | $\exists x, \overline{P(x)}$ |
| $\exists x, P(x)$ | $\forall x, \overline{P(x)}$ |
Xem bài: Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu với mọi và tồn tại
Ứng dụng của mệnh đề phủ định
- Kiểm tra một mệnh đề là sai bằng cách chứng minh phủ định của nó là đúng.
- Chứng minh bằng phản chứng: giả sử mệnh đề cần chứng minh sai, tức phủ định của nó đúng, rồi suy ra mâu thuẫn.
- Tìm phản ví dụ để bác bỏ mệnh đề có kí hiệu $\forall$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Lập mệnh đề phủ định của "$\pi$ là số hữu tỉ" và xét tính đúng sai của cả hai.
- Lập mệnh đề phủ định của "$2^3 \geq 9$".
- Lập mệnh đề phủ định của "$15$ chia hết cho $3$ và $5$".
- Lập mệnh đề phủ định của "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$".
- Lập mệnh đề phủ định của "$\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 + 1 = 0$".
Đáp án
- Phủ định: "$\pi$ không phải là số hữu tỉ". Mệnh đề gốc sai, phủ định đúng.
- $2^3 < 9$ (vì $2^3 = 8$ nên mệnh đề phủ định đúng).
- "$15$ không chia hết cho $3$ hoặc không chia hết cho $5$" (phủ định của "và" là "hoặc").
- $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$ (mệnh đề phủ định này sai).
- $\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 + 1 \neq 0$ (mệnh đề phủ định này đúng).
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
Xem tất cả bài học chủ điểm Mệnh đề và tập hợp
Câu hỏi thường gặp
Mệnh đề phủ định là gì?
Mệnh đề phủ định của $P$ là mệnh đề "không phải $P$", đúng khi $P$ sai và sai khi $P$ đúng.
Phủ định của mệnh đề $a > b$ là gì?
Là $a \leq b$. Không phải $a < b$ vì còn trường hợp bằng nhau.
Phủ định của mệnh đề chứa "với mọi" là gì?
Là mệnh đề chứa "tồn tại" cùng phần điều kiện được phủ định, ví dụ phủ định của $\forall x, P(x)$ là $\exists x, \overline{P(x)}$.
Phủ định hai lần thì được gì?
Phủ định hai lần trả về mệnh đề ban đầu: $\overline{\overline{P}}$ cùng giá trị chân lí với $P$.