Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu với mọi và tồn tại: quy tắc lập và bài tập có đáp án
Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu ∀ là mệnh đề chứa ∃ và ngược lại, đồng thời phủ định điều kiện. Quy tắc lập, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 10.
Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu ∀, ∃
Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu $\forall$ hoặc $\exists$ tuân theo một quy tắc cố định: đổi $\forall$ thành $\exists$, đổi $\exists$ thành $\forall$, rồi phủ định phần điều kiện phía sau. Nắm quy tắc này giúp bạn lập phủ định nhanh và không sai.
Quy tắc phủ định
| Mệnh đề | Phủ định |
|---|---|
| $\forall x \in X,\ P(x)$ | $\exists x \in X,\ \overline{P(x)}$ |
| $\exists x \in X,\ P(x)$ | $\forall x \in X,\ \overline{P(x)}$ |
Nghĩa là: phủ định của "mọi phần tử đều thỏa" là "có ít nhất một phần tử không thỏa"; phủ định của "có phần tử thỏa" là "mọi phần tử đều không thỏa".
Ví dụ lập mệnh đề phủ định
Ví dụ 1
$P$: "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > 0$" (sai).
$\overline{P}$: "$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 \leq 0$" (đúng, $x = 0$).
Giá trị chân lí của $P$ và $\overline{P}$ luôn trái nhau.
Ví dụ 2
$Q$: "$\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 + 1 = 0$" (sai).
$\overline{Q}$: "$\forall n \in \mathbb{N},\ n^2 + 1 \neq 0$" (đúng).
Phủ định của mệnh đề có nhiều lượng từ
Với nhiều kí hiệu, đổi lần lượt từng kí hiệu từ trái sang phải rồi phủ định điều kiện cuối cùng.
Ví dụ
$\forall x\ \exists y:\ y > x$ có phủ định là $\exists x\ \forall y:\ y \leq x$.
Đổi cả $\forall$ lẫn $\exists$ và phủ định $y > x$ thành $y \leq x$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Lập phủ định của "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$" và xét đúng sai.
- Lập phủ định của "$\exists x \in \mathbb{Q},\ x^2 = 2$".
- Lập phủ định của "Mọi học sinh lớp $10A$ đều đạt điểm trên $5$".
- Lập phủ định của "$\forall n \in \mathbb{N},\ n$ chia hết cho $2$ hoặc $n$ lẻ".
- Lập phủ định của "$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 - 2x + 3 < 0$" và xét đúng sai.
Đáp án
- $\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$; mệnh đề phủ định này sai (mệnh đề gốc đúng).
- $\forall x \in \mathbb{Q},\ x^2 \neq 2$; đúng.
- "Có ít nhất một học sinh lớp $10A$ có điểm không quá $5$".
- $\exists n \in \mathbb{N},\ n$ không chia hết cho $2$ và $n$ không lẻ (mệnh đề này sai).
- $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 - 2x + 3 \geq 0$; đúng vì $x^2 - 2x + 3 = (x - 1)^2 + 2 > 0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Kí hiệu với mọi và tồn tại
Bài tiếp theo: Tập hợp và cách xác định tập hợp
Xem tất cả bài học chủ điểm Mệnh đề và tập hợp
Câu hỏi thường gặp
Phủ định của với mọi là gì?
Là tồn tại, đồng thời điều kiện phía sau được phủ định.
Phủ định của tồn tại là gì?
Là với mọi, đồng thời điều kiện phía sau được phủ định.
Mệnh đề và phủ định của nó có thể cùng đúng không?
Không. Hai mệnh đề này luôn có giá trị chân lí trái ngược nhau.
Phủ định của $x \geq 5$ là gì?
Là $x < 5$.