Kí hiệu với mọi và tồn tại: cách dùng, cách đọc, xét đúng sai và bài tập có đáp án
Kí hiệu với mọi và tồn tại gồm ∀ (với mọi) và ∃ (tồn tại), dùng để biến mệnh đề chứa biến thành mệnh đề. Cách đọc, cách xét đúng sai, ví dụ, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 10.
Kí hiệu với mọi và tồn tại là gì?
Kí hiệu với mọi và tồn tại gồm hai kí hiệu: $\forall$ đọc là "với mọi" và $\exists$ đọc là "tồn tại" (hoặc "có ít nhất một"). Chúng giúp ta viết gọn các khẳng định về mọi phần tử hay về sự tồn tại của một phần tử.
Kí hiệu "với mọi"
Ví dụ
"$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$" là mệnh đề đúng.
"$\forall n \in \mathbb{N},\ n > 1$" là mệnh đề sai (phản ví dụ $n = 0$).
Chỉ cần một phản ví dụ là đủ bác bỏ mệnh đề có $\forall$.
Kí hiệu "tồn tại"
Ví dụ
"$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 = 4$" là mệnh đề đúng ($x = 2$).
"$\exists x \in \mathbb{R},\ x^2 < 0$" là mệnh đề sai.
Để chứng minh mệnh đề có $\exists$ đúng, chỉ cần chỉ ra một giá trị cụ thể.
So sánh hai kí hiệu
| Tiêu chí | $\forall$ (với mọi) | $\exists$ (tồn tại) |
|---|---|---|
| Đúng khi | Mọi phần tử đều thỏa | Có ít nhất một phần tử thỏa |
| Sai khi | Có một phản ví dụ | Không có phần tử nào thỏa |
| Cách chứng minh | Chứng minh tổng quát | Chỉ ra một ví dụ |
Xem bài: Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu với mọi và tồn tại
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Xét đúng sai: "$\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 > x$".
- Xét đúng sai: "$\exists n \in \mathbb{N},\ n^2 = n$".
- Viết bằng kí hiệu: "Mọi số thực đều có bình phương không âm".
- Viết bằng kí hiệu: "Có một số tự nhiên là số chẵn và là số nguyên tố".
- Xét đúng sai: "$\forall x \in \mathbb{R},\ \exists y \in \mathbb{R}: y > x$".
Đáp án
- Sai. Phản ví dụ: $x = 0$ (hay $x = 1$) không thỏa $x^2 > x$.
- Đúng. Chọn $n = 0$ hoặc $n = 1$.
- $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \geq 0$.
- $\exists n \in \mathbb{N}:\ n$ chẵn và $n$ nguyên tố (đúng với $n = 2$).
- Đúng. Với mỗi $x$, chọn $y = x + 1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Phủ định của mệnh đề chứa kí hiệu với mọi và tồn tại
Xem tất cả bài học chủ điểm Mệnh đề và tập hợp
Câu hỏi thường gặp
Kí hiệu với mọi đọc như thế nào?
$\forall$ đọc là "với mọi" (hoặc "với tất cả").
Kí hiệu tồn tại có nghĩa là gì?
$\exists$ nghĩa là có ít nhất một phần tử thỏa điều kiện, không nhất thiết duy nhất.
Làm sao bác bỏ mệnh đề có với mọi?
Chỉ ra một phản ví dụ, tức một phần tử không thỏa điều kiện.
Có kí hiệu cho tồn tại duy nhất không?
Có, $\exists!$ nghĩa là tồn tại duy nhất một phần tử thỏa điều kiện.