Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 11
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm: s² = (1/n)·Σ nᵢ(xᵢ − x̄)² = (1/n)·Σ nᵢxᵢ² − x̄², s = √s². Công thức, các bước tính, ví dụ thời gian tập thể dục, ý nghĩa và bài tập có đáp án Toán 11.
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm
Phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu ghép nhóm đo mức độ phân tán của các giá trị quanh số trung bình. Với $x_i$ là giá trị đại diện của nhóm thứ $i$, phương sai là $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum n_i (x_i - \bar{x})^2 = \dfrac{1}{n}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2$ và độ lệch chuẩn là $s = \sqrt{s^2}$.
Công thức
- Tính giá trị đại diện $x_i$ và số trung bình $\bar{x}$.
- Tính $\sum n_i x_i^2$ (hoặc $\sum n_i(x_i - \bar{x})^2$).
- Chia cho $n$ và (với công thức rút gọn) trừ $\bar{x}^2$ để được $s^2$.
- Khai căn để có $s$.
Xem bài: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm
Ví dụ: thời gian tập thể dục
Lời giải
Đại diện $10, 30, 50, 70, 90$ với tần số $5, 10, 12, 9, 4$; $n = 40$, $\bar{x} = 48{,}5$.
$\dfrac{1}{40}\sum n_i x_i^2 = \dfrac{5 \cdot 100 + 10 \cdot 900 + 12 \cdot 2500 + 9 \cdot 4900 + 4 \cdot 8100}{40} = \dfrac{116\,000}{40} = 2900$.
$s^2 = 2900 - 48{,}5^2 = 2900 - 2352{,}25 = 547{,}75$; $s \approx 23{,}40$ phút.
Độ lệch chuẩn lớn cho thấy thời gian tập luyện phân tán khá rộng.
Ví dụ khác: thời gian chạy
Đại diện $11, 13, 15, 17, 19$, tần số $3, 5, 7, 4, 1$, $\bar{x} = 14{,}5$.
$\sum n_i(x_i - \bar{x})^2 = 36{,}75 + 11{,}25 + 1{,}75 + 25 + 20{,}25 = 95$ nên $s^2 = \dfrac{95}{20} = 4{,}75$, $s \approx 2{,}18$ giây.
Xem bài: Bài tập tổng hợp mẫu số liệu ghép nhóm
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính phương sai của bảng chiều cao $30$ học sinh biết $\bar{x} = 161{,}5$ (đại diện $152{,}5; 157{,}5; 162{,}5; 167{,}5; 172{,}5$; tần số $4, 8, 10, 6, 2$).
- Tính độ lệch chuẩn của bảng ở bài 1.
- Bảng có $n = 10$, $\sum n_i x_i^2 = 1\,000$, $\bar{x} = 9$. Tính $s^2$.
- Hai mẫu cùng trung bình, $s_A = 1{,}2$ và $s_B = 2{,}5$. Mẫu nào đồng đều hơn?
- Phương sai bằng $0$ nghĩa là gì?
Đáp án
- $\sum n_i(x_i - 161{,}5)^2 = 324 + 128 + 10 + 216 + 242 = 920$ nên $s^2 = \dfrac{920}{30} \approx 30{,}67$.
- $s \approx \sqrt{30{,}67} \approx 5{,}54$ cm.
- $s^2 = \dfrac{1000}{10} - 81 = 19$.
- Mẫu $A$ (độ lệch chuẩn nhỏ hơn).
- Mọi giá trị đại diện bằng nhau, tức không có sự phân tán.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Bài tiếp theo: Bài tập tổng hợp mẫu số liệu ghép nhóm
Xem tất cả bài học chủ điểm Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm
Câu hỏi thường gặp
Phương sai của mẫu ghép nhóm tính thế nào?
$s^2 = \dfrac{1}{n}\sum n_i(x_i - \bar{x})^2$ với $x_i$ là giá trị đại diện.
Có công thức rút gọn không?
Có: $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum n_i x_i^2 - \bar{x}^2$.
Độ lệch chuẩn là gì?
Là căn bậc hai của phương sai.
Dùng độ lệch chuẩn để làm gì?
So sánh độ phân tán của các mẫu số liệu.