Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức, cách tính từng bước và bài tập có đáp án Toán 11

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm là x̄ = (n₁x₁ + n₂x₂ + ... + nₖxₖ)/n với xᵢ là giá trị đại diện của nhóm thứ i. Công thức, các bước tính, ví dụ thời gian tập thể dục của 40 học sinh, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

$Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức, cách tính từng bước và bài tập có đáp án Toán 11$

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $\bar{x}$, được tính xấp xỉ bằng công thức $\bar{x} = \dfrac{n_1 x_1 + n_2 x_2 + \cdots + n_k x_k}{n}$, trong đó $x_i$ là giá trị đại diện và $n_i$ là tần số của nhóm thứ $i$, $n = n_1 + \cdots + n_k$.

Công thức và các bước tính

Tính giá trị đại diện $x_i$ của từng nhóm.
Tính tích $n_i x_i$ và cộng lại.
Chia tổng cho cỡ mẫu $n$.

Xem bài: Mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ: thời gian tập thể dục

Lời giải

Nhóm $[0; 20)$: $5$ em, đại diện $10$; $[20; 40)$: $10$ em, đại diện $30$; $[40; 60)$: $12$ em, đại diện $50$; $[60; 80)$: $9$ em, đại diện $70$; $[80; 100)$: $4$ em, đại diện $90$.
$\bar{x} = \dfrac{5 \cdot 10 + 10 \cdot 30 + 12 \cdot 50 + 9 \cdot 70 + 4 \cdot 90}{40} = \dfrac{1940}{40} = 48{,}5$ phút.

Trung bình mỗi em tập khoảng $48{,}5$ phút.

Xem bài: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Ý nghĩa

Số trung bình đại diện cho mức độ trung tâm của mẫu. Vì dùng giá trị đại diện nên kết quả là xấp xỉ và có thể lệch nhẹ so với số trung bình tính từ dữ liệu gốc.

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính số trung bình chiều cao của $30$ học sinh: $[150; 155)$: $4$; $[155; 160)$: $8$; $[160; 165)$: $10$; $[165; 170)$: $6$; $[170; 175)$: $2$.
Bảng thời gian chạy $20$ học sinh: $[10; 12)$: $3$; $[12; 14)$: $5$; $[14; 16)$: $7$; $[16; 18)$: $4$; $[18; 20)$: $1$. Tính số trung bình.
Một mẫu có $n = 50$ và $\sum n_i x_i = 2\,250$. Tính $\bar{x}$.
Vì sao kết quả chỉ là xấp xỉ?
Nhóm $[10; 14)$ có giá trị đại diện bằng bao nhiêu?

Đáp án

Đại diện $152{,}5$; $157{,}5$; $162{,}5$; $167{,}5$; $172{,}5$. $\bar{x} = \dfrac{4845}{30} = 161{,}5$ cm.
Đại diện $11, 13, 15, 17, 19$: $\bar{x} = \dfrac{33 + 65 + 105 + 68 + 19}{20} = 14{,}5$ giây.
$\bar{x} = \dfrac{2250}{50} = 45$.
Vì dùng giá trị đại diện thay cho giá trị thật trong mỗi nhóm.
$\dfrac{10 + 14}{2} = 12$.