Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức nội suy, các bước tính và bài tập có đáp án Toán 11

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là Mₑ = uₘ + ((n/2 − C)/nₘ)·(uₘ₊₁ − uₘ), với nhóm chứa trung vị là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy không nhỏ hơn n/2. Các bước tính, ví dụ chi tiết, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

$Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức nội suy, các bước tính và bài tập có đáp án Toán 11$

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $M_e$, được tính bằng phép nội suy tuyến tính trong nhóm chứa trung vị: $M_e = u_m + \dfrac{\dfrac{n}{2} - C}{n_m} \cdot (u_{m+1} - u_m)$, trong đó $[u_m; u_{m+1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy không nhỏ hơn $\dfrac{n}{2}$, $C$ là tần số tích lũy của nhóm đứng ngay trước và $n_m$ là tần số của nhóm đó.

Các bước tính trung vị

Tính $\dfrac{n}{2}$ và lập bảng tần số tích lũy.
Tìm nhóm $[u_m; u_{m+1})$ là nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\geq \dfrac{n}{2}$.
Xác định $C$ (tần số tích lũy của nhóm liền trước) và $n_m$.
Áp dụng $M_e = u_m + \dfrac{\frac{n}{2} - C}{n_m}(u_{m+1} - u_m)$.

Xem bài: Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ: thời gian tập thể dục

Lời giải

Cỡ mẫu $n = 40$ nên $\dfrac{n}{2} = 20$. Tần số tích lũy: $5, 15, 27, 36, 40$.
Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy $\geq 20$ là $[40; 60)$ nên $u_m = 40$, $u_{m+1} = 60$, $n_m = 12$, $C = 15$.
$M_e = 40 + \dfrac{20 - 15}{12} \cdot 20 = 40 + \dfrac{100}{12} \approx 48{,}33$ phút.

Một nửa số học sinh tập dưới khoảng $48{,}3$ phút.

Ví dụ khác: chiều cao

Bảng: $[150; 155)$: $4$; $[155; 160)$: $8$; $[160; 165)$: $10$; $[165; 170)$: $6$; $[170; 175)$: $2$. $n = 30$, $\dfrac{n}{2} = 15$, tích lũy $4, 12, 22, 28, 30$.
Nhóm $[160; 165)$: $C = 12$, $n_m = 10$: $M_e = 160 + \dfrac{15 - 12}{10} \cdot 5 = 161{,}5$ cm.

Xem bài: Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính trung vị của bảng chiều cao $30$ học sinh đã cho ở ví dụ.
Bảng thời gian chạy $20$ học sinh: $[10; 12)$: $3$; $[12; 14)$: $5$; $[14; 16)$: $7$; $[16; 18)$: $4$; $[18; 20)$: $1$. Tính trung vị.
Mẫu có $n = 60$. Cần so sánh tần số tích lũy với giá trị nào để tìm nhóm chứa trung vị?
Nhóm chứa trung vị là $[20; 30)$ với $C = 10$, $n_m = 8$, $n = 40$. Tính $M_e$.
Trung vị cho biết điều gì về mẫu?

Đáp án

$M_e = 161{,}5$ cm (nhóm $[160; 165)$).
$\dfrac{n}{2} = 10$; tích lũy $3, 8, 15, \ldots$ nên nhóm $[14; 16)$, $C = 8$, $n_m = 7$: $M_e = 14 + \dfrac{2}{7} \cdot 2 \approx 14{,}57$ giây.
So sánh với $\dfrac{60}{2} = 30$.
$M_e = 20 + \dfrac{20 - 10}{8} \cdot 10 = 32{,}5$.
Một nửa số giá trị của mẫu nhỏ hơn trung vị, một nửa lớn hơn.