Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức Q1, Q2, Q3, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gồm Q₁ ứng với n/4, Q₂ là trung vị ứng với n/2 và Q₃ ứng với 3n/4, tính bằng phép nội suy trong nhóm chứa tứ phân vị. Công thức, các bước, ví dụ thời gian tập thể dục và bài tập có đáp án.
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm gồm ba giá trị $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ chia mẫu thành bốn phần có số phần tử xấp xỉ bằng nhau. Mỗi tứ phân vị được tính bằng cùng một công thức nội suy như trung vị, chỉ khác mốc tần số: $\dfrac{n}{4}$ cho $Q_1$, $\dfrac{n}{2}$ cho $Q_2$ và $\dfrac{3n}{4}$ cho $Q_3$.
Công thức tổng quát
$Q_2 = M_e$ (trung vị). $Q_1$ dùng mốc $\dfrac{n}{4}$, $Q_3$ dùng mốc $\dfrac{3n}{4}$.
Xem bài: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Ví dụ: thời gian tập thể dục
Q₁
$n = 40$, mốc $\dfrac{n}{4} = 10$. Tích lũy $5, 15, \ldots$ nên nhóm $[20; 40)$: $C = 5$, $n_j = 10$.
$Q_1 = 20 + \dfrac{10 - 5}{10} \cdot 20 = 30$ phút.
Q₃
Mốc $\dfrac{3n}{4} = 30$. Tích lũy $5, 15, 27, 36, \ldots$ nên nhóm $[60; 80)$: $C = 27$, $n_j = 9$.
$Q_3 = 60 + \dfrac{30 - 27}{9} \cdot 20 \approx 66{,}67$ phút.
Cùng với $Q_2 \approx 48{,}33$ ta có ba tứ phân vị.
Xem bài: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Ứng dụng
Tứ phân vị dùng để tính khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$, đo độ phân tán của một nửa số liệu ở giữa mẫu, ít chịu ảnh hưởng của giá trị bất thường. Ở ví dụ trên $\Delta_Q \approx 66{,}67 - 30 = 36{,}67$ phút.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $Q_1$ của bảng chiều cao $30$ học sinh: $[150; 155)$: $4$; $[155; 160)$: $8$; $[160; 165)$: $10$; $[165; 170)$: $6$; $[170; 175)$: $2$.
- Tính $Q_3$ của bảng chiều cao ở bài 1.
- Bảng thời gian chạy $20$ học sinh: $[10; 12)$: $3$; $[12; 14)$: $5$; $[14; 16)$: $7$; $[16; 18)$: $4$; $[18; 20)$: $1$. Tính $Q_1$.
- Tính $Q_3$ của bảng thời gian chạy ở bài 3.
- Tứ phân vị $Q_2$ trùng với đại lượng nào?
Đáp án
- $\dfrac{n}{4} = 7{,}5$; nhóm $[155; 160)$, $C = 4$, $n_j = 8$: $Q_1 = 155 + \dfrac{3{,}5}{8} \cdot 5 \approx 157{,}19$ cm.
- $\dfrac{3n}{4} = 22{,}5$; tích lũy $4, 12, 22, 28, \ldots$ nên nhóm $[165; 170)$, $C = 22$, $n_j = 6$: $Q_3 = 165 + \dfrac{0{,}5}{6} \cdot 5 \approx 165{,}42$ cm.
- $\dfrac{n}{4} = 5$; tích lũy $3, 8, \ldots$ nên nhóm $[12; 14)$, $C = 3$, $n_j = 5$: $Q_1 = 12 + \dfrac{2}{5} \cdot 2 = 12{,}8$ giây.
- $\dfrac{3n}{4} = 15$; tích lũy $3, 8, 15, \ldots$ nên nhóm $[14; 16)$, $C = 8$, $n_j = 7$: $Q_3 = 14 + \dfrac{7}{7} \cdot 2 = 16$ giây.
- Trùng với trung vị $M_e$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm
Bài tiếp theo: Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm
Xem tất cả bài học chủ điểm Các số đặc trưng của mẫu số liệu ghép nhóm
Câu hỏi thường gặp
Tứ phân vị của mẫu ghép nhóm tính thế nào?
Dùng công thức nội suy với mốc $\dfrac{n}{4}$, $\dfrac{n}{2}$, $\dfrac{3n}{4}$.
Q₂ là gì?
Là trung vị của mẫu.
Tứ phân vị dùng để làm gì?
Tính khoảng tứ phân vị và đo độ phân tán của mẫu.
Cách tìm nhóm chứa tứ phân vị?
Nhóm đầu tiên có tần số tích lũy không nhỏ hơn mốc.