Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức, nhóm chứa mốt, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm là Mₒ = uⱼ + ((nⱼ − nⱼ₋₁) / ((nⱼ − nⱼ₋₁) + (nⱼ − nⱼ₊₁)))·h, với nhóm chứa mốt là nhóm có tần số lớn nhất. Công thức, các bước tính, ví dụ thời gian tập thể dục, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.

$Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm: công thức, nhóm chứa mốt, ví dụ và bài tập có đáp án Toán lớp 11$

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm

Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu $M_o$, là giá trị đại diện cho nhóm có tần số lớn nhất, được xác định chính xác hơn bằng công thức $M_o = u_j + \dfrac{n_j - n_{j-1}}{(n_j - n_{j-1}) + (n_j - n_{j+1})} \cdot h$, trong đó $[u_j; u_{j+1})$ là nhóm có tần số lớn nhất (nhóm chứa mốt), $h$ là độ rộng nhóm, $n_{j-1}$, $n_{j+1}$ là tần số các nhóm kề.

Các bước tính mốt

Tìm nhóm có tần số lớn nhất $[u_j; u_{j+1})$ với tần số $n_j$.
Xác định tần số nhóm liền trước $n_{j-1}$ và liền sau $n_{j+1}$ (nếu không có thì lấy bằng $0$).
Tính độ rộng nhóm $h = u_{j+1} - u_j$.
Áp dụng công thức của $M_o$.

Xem bài: Tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Ví dụ: thời gian tập thể dục

Lời giải

Tần số lớn nhất là $12$, nhóm $[40; 60)$: $u_j = 40$, $h = 20$, $n_j = 12$, $n_{j-1} = 10$, $n_{j+1} = 9$.
$M_o = 40 + \dfrac{12 - 10}{(12 - 10) + (12 - 9)} \cdot 20 = 40 + \dfrac{2}{5} \cdot 20 = 48$ phút.

Phần lớn học sinh tập khoảng $48$ phút.

Ví dụ khác

Chiều cao $30$ học sinh: nhóm $[160; 165)$ có tần số lớn nhất $10$, $n_{j-1} = 8$, $n_{j+1} = 6$, $h = 5$.
$M_o = 160 + \dfrac{10 - 8}{(10 - 8) + (10 - 6)} \cdot 5 = 160 + \dfrac{2}{6} \cdot 5 \approx 161{,}67$ cm.

Ý nghĩa

Mốt cho biết giá trị tập trung nhiều nhất của mẫu. Khi có nhiều nhóm cùng tần số lớn nhất, mẫu có nhiều mốt; mỗi nhóm đó cho một mốt.

Xem bài: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính mốt của bảng thời gian chạy $20$ học sinh: $[10; 12)$: $3$; $[12; 14)$: $5$; $[14; 16)$: $7$; $[16; 18)$: $4$; $[18; 20)$: $1$.
Nhóm chứa mốt là $[30; 40)$ với $n_j = 9$, $n_{j-1} = 5$, $n_{j+1} = 6$. Tính $M_o$.
Nhóm đầu tiên có tần số lớn nhất, không có nhóm liền trước. Lấy $n_{j-1}$ bằng bao nhiêu?
Vì sao mốt tính bằng công thức khác với giá trị đại diện của nhóm?
Mẫu có hai nhóm cùng tần số lớn nhất thì có bao nhiêu mốt?

Đáp án

Nhóm $[14; 16)$: $M_o = 14 + \dfrac{7 - 5}{(7 - 5) + (7 - 4)} \cdot 2 = 14{,}8$ giây.
$M_o = 30 + \dfrac{9 - 5}{(9 - 5) + (9 - 6)} \cdot 10 \approx 35{,}71$.
Bằng $0$.
Công thức nội suy theo tần số các nhóm kề nên chính xác hơn giá trị đại diện.
Hai mốt.