Phương sai và độ lệch chuẩn: công thức, cách tính, ý nghĩa và bài tập có đáp án Toán lớp 10
Phương sai và độ lệch chuẩn đo mức độ phân tán của mẫu số liệu quanh số trung bình: s² = (1/n)·Σ(xᵢ − x̄)² và s = √s². Công thức, công thức rút gọn, ví dụ chi tiết, ý nghĩa, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án.
Phương sai và độ lệch chuẩn
Phương sai và độ lệch chuẩn là hai số đo mức độ phân tán của các giá trị so với số trung bình. Phương sai $s^2 = \dfrac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$ và độ lệch chuẩn $s = \sqrt{s^2}$. Giá trị càng nhỏ thì dữ liệu càng tập trung quanh trung bình.
Công thức
- Tính số trung bình $\bar{x}$.
- Tính từng độ lệch $x_i - \bar{x}$ rồi bình phương.
- Lấy trung bình các bình phương để được $s^2$; khai căn để được $s$.
Xem bài: Số trung bình cộng của mẫu số liệu
Ví dụ
Ví dụ 1
Mẫu $2, 4, 6$: $\bar{x} = 4$.
$s^2 = \dfrac{(2 - 4)^2 + (4 - 4)^2 + (6 - 4)^2}{3} = \dfrac{8}{3}$, $s = \sqrt{\dfrac{8}{3}} \approx 1{,}63$.
Ví dụ 2: công thức rút gọn
Mẫu $1, 2, 3, 4, 5$: $\bar{x} = 3$, $\dfrac{1 + 4 + 9 + 16 + 25}{5} = 11$.
$s^2 = 11 - 3^2 = 2$, $s = \sqrt{2}$.
Ý nghĩa
So sánh
Hai lớp có cùng điểm trung bình $7$ nhưng lớp A có $s = 0{,}8$, lớp B có $s = 2{,}0$. Điểm của lớp A đồng đều hơn, lớp B chênh lệch nhiều hơn.
Độ lệch chuẩn có cùng đơn vị với dữ liệu nên dễ diễn giải.
Xem bài: Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính phương sai và độ lệch chuẩn của $1, 3, 5$.
- Tính phương sai của $2, 2, 2, 2$ và giải thích.
- Dùng công thức rút gọn tính phương sai của $3, 5, 7, 9$.
- Hai mẫu có cùng trung bình, mẫu $A$ có $s = 1$, mẫu $B$ có $s = 3$. Mẫu nào đồng đều hơn?
- Mẫu $x_1, \ldots, x_n$ cộng thêm $10$ vào mỗi giá trị thì phương sai thay đổi thế nào?
Đáp án
- $\bar{x} = 3$; $s^2 = \dfrac{4 + 0 + 4}{3} = \dfrac{8}{3}$; $s \approx 1{,}63$.
- $\bar{x} = 2$, mọi độ lệch bằng $0$ nên $s^2 = 0$ (không phân tán).
- $\bar{x} = 6$; $\dfrac{9 + 25 + 49 + 81}{4} = 41$; $s^2 = 41 - 36 = 5$.
- Mẫu $A$ (độ lệch chuẩn nhỏ hơn).
- Không đổi, vì các độ lệch $x_i - \bar{x}$ không đổi.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Bài tiếp theo: Giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu
Xem tất cả bài học chủ điểm Thống kê
Câu hỏi thường gặp
Phương sai là gì?
Là trung bình của bình phương độ lệch giữa mỗi giá trị và số trung bình.
Độ lệch chuẩn là gì?
Là căn bậc hai của phương sai.
Phương sai bằng 0 nghĩa là gì?
Mọi giá trị trong mẫu đều bằng nhau.
Công thức rút gọn của phương sai là gì?
$s^2 = \overline{x^2} - \bar{x}^2$.