Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị: công thức, ý nghĩa, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 10
Khoảng biến thiên R = xmax − xmin và khoảng tứ phân vị ΔQ = Q₃ − Q₁ đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Công thức, cách tính, ý nghĩa, so sánh hai đại lượng khi có giá trị ngoại lệ, ví dụ và bài tập có đáp án.
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị
Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị là hai số đo mức độ phân tán của mẫu số liệu. Khoảng biến thiên $R = x_{\max} - x_{\min}$ cho biết dữ liệu trải rộng bao nhiêu; khoảng tứ phân vị $\Delta_Q = Q_3 - Q_1$ cho biết độ trải rộng của một nửa số liệu ở giữa.
Khoảng biến thiên
Ví dụ 1
Mẫu $2, 3, 5, 7, 8, 9, 12$: $R = 12 - 2 = 10$.
Khoảng tứ phân vị
Ví dụ 2
Cùng mẫu trên: $Q_1 = 3$, $Q_3 = 9$ nên $\Delta_Q = 6$.
Xem bài: Tứ phân vị của mẫu số liệu
So sánh hai đại lượng
| Đại lượng | Ưu điểm | Nhược điểm |
|---|---|---|
| Khoảng biến thiên $R$ | Dễ tính | Bị ảnh hưởng mạnh bởi giá trị ngoại lệ |
| Khoảng tứ phân vị $\Delta_Q$ | Không bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ | Bỏ qua $25\%$ số liệu ở mỗi đầu |
Ví dụ
Mẫu $A$: $10, 11, 12, 13, 14$ có $R = 4$. Mẫu $B$: $10, 11, 12, 13, 50$ có $R = 40$ nhưng $\Delta_Q$ của hai mẫu đều bằng $2{,}5$.
Giá trị ngoại lệ $50$ làm $R$ tăng mạnh nhưng không đổi $\Delta_Q$.
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính khoảng biến thiên của $5, 8, 3, 12, 9$.
- Tính khoảng tứ phân vị của $4, 6, 7, 9, 11, 12, 15$.
- Tính $R$ và $\Delta_Q$ của $1, 3, 4, 6, 7, 9, 10, 12$.
- Mẫu nào phân tán hơn: $A$ có $R = 8$, $B$ có $R = 20$?
- Vì sao khoảng tứ phân vị ít bị ảnh hưởng bởi giá trị ngoại lệ?
Đáp án
- $R = 12 - 3 = 9$.
- $Q_1 = 6$, $Q_3 = 12$ nên $\Delta_Q = 6$.
- $R = 11$; $Q_1 = 3{,}5$, $Q_3 = 9{,}5$ nên $\Delta_Q = 6$.
- Mẫu $B$ phân tán hơn (xét theo $R$).
- Vì nó chỉ dựa trên $Q_1$ và $Q_3$, không dùng các giá trị ở hai đầu mút.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Mốt của mẫu số liệu
Bài tiếp theo: Phương sai và độ lệch chuẩn
Xem tất cả bài học chủ điểm Thống kê
Câu hỏi thường gặp
Khoảng biến thiên là gì?
Là hiệu giữa giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mẫu.
Khoảng tứ phân vị là gì?
Là hiệu $Q_3 - Q_1$.
Đại lượng nào ít chịu ảnh hưởng của giá trị ngoại lệ?
Khoảng tứ phân vị.
Hai đại lượng này dùng để làm gì?
Để đo mức độ phân tán của mẫu số liệu.