Phương pháp tích phân từng phần: công thức ∫ₐᵇ u dv = [uv] − ∫ₐᵇ v du và bài tập có đáp án Toán lớp 12

Phương pháp tích phân từng phần dùng công thức ∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du. Quy tắc chọn u và dv, ví dụ ∫₀¹ x·eˣ dx, ∫₀^π x·sin x dx, ∫₁ᵉ ln x dx, lỗi thường gặp và bài tập có đáp án Toán 12.

$Phương pháp tích phân từng phần: công thức ∫ₐᵇ u dv = [uv] − ∫ₐᵇ v du và bài tập có đáp án Toán lớp 12$

Phương pháp tích phân từng phần

Phương pháp tích phân từng phần: nếu $u = u(x)$ và $v = v(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a; b]$ thì $\int_a^b u\,dv = \Big[uv\Big]_a^b - \int_a^b v\,du$. Cách chọn $u$ và $dv$ giống với nguyên hàm từng phần, chỉ khác là giữ nguyên cận trong cả hai vế.

Cách làm

Chọn $u$ theo thứ tự ưu tiên lôgarit, đa thức, lượng giác, mũ; phần còn lại là $dv$.
Tính $du$, $v$.
Áp dụng công thức với cận $a$, $b$ và tính phần $\Big[uv\Big]_a^b$ cùng tích phân còn lại.

Xem bài: Phương pháp nguyên hàm từng phần

Ví dụ

Ví dụ 1

$\int_0^1 xe^x dx$: $u = x$, $dv = e^x dx$ nên $v = e^x$.
$= \Big[xe^x\Big]_0^1 - \int_0^1 e^x dx = e - (e - 1) = 1$.

Ví dụ 2

$\int_0^\pi x\sin x\,dx$: $u = x$, $v = -\cos x$.
$= \Big[-x\cos x\Big]_0^\pi + \int_0^\pi \cos x\,dx = \pi + 0 = \pi$.

Ví dụ 3

$\int_1^e \ln x\,dx$: $u = \ln x$, $dv = dx$ nên $v = x$.
$= \Big[x\ln x\Big]_1^e - \int_1^e dx = e - (e - 1) = 1$.

Ví dụ 4

$\int_0^1 (x + 1)e^x dx = \Big[xe^x\Big]_0^1 = e$ (vì $(xe^x)' = (x + 1)e^x$).

Xem bài: Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính $\int_0^1 x e^{x}dx$ bằng nguyên hàm $(x - 1)e^x$.
Tính $\int_0^{\pi/2} x\cos x\,dx$.
Tính $\int_1^e x\ln x\,dx$.
Tính $\int_0^1 \ln(x + 1)dx$.
Tính $\int_0^1 xe^{-x}dx$.

Đáp án

$\Big[(x - 1)e^x\Big]_0^1 = 0 - (-1) = 1$.
$\Big[x\sin x\Big]_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2}\sin x\,dx = \dfrac{\pi}{2} - 1$.
$\Big[\dfrac{x^2}{2}\ln x\Big]_1^e - \int_1^e \dfrac{x}{2}dx = \dfrac{e^2}{2} - \dfrac{e^2 - 1}{4} = \dfrac{e^2 + 1}{4}$.
$\Big[(x + 1)\ln(x + 1) - x\Big]_0^1 = 2\ln 2 - 1$.
$\Big[-xe^{-x}\Big]_0^1 + \int_0^1 e^{-x}dx = -e^{-1} + (1 - e^{-1}) = 1 - \dfrac{2}{e}$.