Phương pháp đổi biến số tính tích phân: đổi cận, các dạng thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 12

Phương pháp đổi biến số tính tích phân: đặt u = u(x), đổi cận x = a thành u = u(a), x = b thành u = u(b) rồi tính ∫ᵤ₍ₐ₎ᵘ⁽ᵇ⁾ f(u)du. Các bước, dạng nhận biết, ví dụ chi tiết và bài tập có đáp án Toán 12.

$Phương pháp đổi biến số tính tích phân: đổi cận, các dạng thường gặp và bài tập có đáp án Toán lớp 12$

Phương pháp đổi biến số tính tích phân

Phương pháp đổi biến số tính tích phân: nếu $u = u(x)$ có đạo hàm liên tục trên $[a; b]$ thì $\int_a^b f(u(x))\,u'(x)\,dx = \int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,du$. Khác với nguyên hàm, ở đây phải đổi cận theo biến mới và không cần thay $u$ trở lại.

Các bước thực hiện

Đặt $u = u(x)$, tính $du = u'(x)dx$.
Đổi cận: $x = a \Rightarrow u = u(a)$; $x = b \Rightarrow u = u(b)$.
Viết tích phân theo $u$ và tính.
Kết luận (không cần đổi ngược về $x$).

Xem bài: Tính chất của tích phân

Ví dụ

Ví dụ 1

$\int_0^1 2x(x^2 + 1)^3 dx$: $u = x^2 + 1$, $du = 2x\,dx$; $x = 0 \Rightarrow u = 1$, $x = 1 \Rightarrow u = 2$.
$= \int_1^2 u^3 du = \dfrac{u^4}{4}\Big|_1^2 = \dfrac{16 - 1}{4} = \dfrac{15}{4}$.

Ví dụ 2

$\int_0^{\pi/2} \sin x\cos x\,dx$: $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$; cận $0 \to 1$.
$= \int_0^1 u\,du = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 3

$\int_1^e \dfrac{\ln x}{x}dx$: $u = \ln x$, $du = \dfrac{dx}{x}$; cận $1 \to e$ ứng với $0 \to 1$.
$= \int_0^1 u\,du = \dfrac{1}{2}$.

Ví dụ 4

$\int_0^1 x e^{x^2}dx$: $u = x^2$, $x\,dx = \dfrac{du}{2}$; cận $0 \to 1$. $= \dfrac{1}{2}\int_0^1 e^u du = \dfrac{e - 1}{2}$.

Xem bài: Phương pháp tích phân từng phần

Những lỗi thường gặp

Bài tập thực hành

Tính $\int_0^1 3x^2(x^3 + 1)^2 dx$.
Tính $\int_0^{\pi/2} \cos x\sin^2 x\,dx$.
Tính $\int_0^1 \dfrac{2x}{x^2 + 1}dx$.
Tính $\int_1^e \dfrac{1}{x(1 + \ln x)}dx$.
Tính $\int_0^1 x\sqrt{x^2 + 1}\,dx$.

Đáp án

$u = x^3 + 1$, cận $1 \to 2$: $\int_1^2 u^2 du = \dfrac{7}{3}$.
$u = \sin x$, cận $0 \to 1$: $\int_0^1 u^2 du = \dfrac{1}{3}$.
$u = x^2 + 1$, cận $1 \to 2$: $\ln 2$.
$u = 1 + \ln x$, cận $1 \to 2$: $\int_1^2 \dfrac{du}{u} = \ln 2$.
$u = x^2 + 1$, $x\,dx = \dfrac{du}{2}$, cận $1 \to 2$: $\dfrac{1}{3}(2\sqrt{2} - 1)$.