Tính chất của tích phân: cộng đoạn, đổi cận, tuyến tính, hàm chẵn lẻ và bài tập có đáp án Toán lớp 12
Tính chất của tích phân gồm: tích phân cùng cận bằng 0, đổi cận đổi dấu, cộng theo đoạn, tuyến tính (tổng, hằng số) và tích phân của hàm chẵn, hàm lẻ trên đoạn đối xứng. Ví dụ tính tích phân giá trị tuyệt đối và bài tập có đáp án Toán 12.
Tính chất của tích phân
Tính chất của tích phân giúp tách và biến đổi tích phân phức tạp. Với $f$, $g$ liên tục trên đoạn chứa $a$, $b$, $c$: tích phân có tính tuyến tính, đổi cận thì đổi dấu và có thể cộng theo đoạn.
Các tính chất
| Tính chất | Công thức |
|---|---|
| Cùng cận | $\int_a^a f(x)dx = 0$ |
| Đổi cận | $\int_a^b f(x)dx = -\int_b^a f(x)dx$ |
| Hằng số | $\int_a^b kf(x)dx = k\int_a^b f(x)dx$ |
| Tổng, hiệu | $\int_a^b [f \pm g]dx = \int_a^b f\,dx \pm \int_a^b g\,dx$ |
| Cộng đoạn | $\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$ |
Hàm chẵn, hàm lẻ
- $f$ lẻ trên $[-a; a]$: $\int_{-a}^a f(x)dx = 0$.
- $f$ chẵn trên $[-a; a]$: $\int_{-a}^a f(x)dx = 2\int_0^a f(x)dx$.
Ví dụ
$\int_{-1}^1 x^3 dx = 0$ (hàm lẻ); $\int_{-1}^1 x^2 dx = 2\int_0^1 x^2 dx = \dfrac{2}{3}$ (hàm chẵn).
Ví dụ
Ví dụ 1
$\int_0^2 (x^2 + 1)dx = \dfrac{8}{3} + 2 = \dfrac{14}{3}$.
Ví dụ 2: giá trị tuyệt đối
$\int_{-1}^2 |x|dx = \int_{-1}^0 (-x)dx + \int_0^2 x\,dx = \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{5}{2}$.
Tách đoạn tại điểm đổi dấu.
Ví dụ 3
Biết $\int_0^3 f = 5$ và $\int_3^5 f = 2$ thì $\int_0^5 f = 7$; $\int_5^3 f = -2$.
Xem bài: Phương pháp đổi biến số tính tích phân
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\int_{-2}^2 x^3 dx$.
- Tính $\int_{-1}^1 (x^2 + x)dx$.
- Biết $\int_1^4 f = 6$, $\int_1^2 f = 2$. Tính $\int_2^4 f$.
- Tính $\int_0^2 |x - 1|dx$.
- Tính $\int_3^3 f(x)dx$.
Đáp án
- $0$.
- $\int_{-1}^1 x^2 = \dfrac{2}{3}$ và $\int_{-1}^1 x = 0$: $\dfrac{2}{3}$.
- $6 - 2 = 4$.
- $\int_0^1 (1 - x)dx + \int_1^2 (x - 1)dx = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} = 1$.
- $0$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài tiếp theo: Phương pháp đổi biến số tính tích phân
Xem tất cả bài học chủ điểm Nguyên hàm và tích phân
Câu hỏi thường gặp
Tích phân cùng cận bằng bao nhiêu?
$0$.
Đổi cận thì sao?
Tích phân đổi dấu.
Tích phân hàm lẻ trên $[-a; a]$?
Bằng $0$.
Tính $\int |f|$ thế nào?
Tách đoạn tại điểm $f$ đổi dấu.