Tích phân: định nghĩa, công thức Newton - Leibniz, ý nghĩa hình học và bài tập có đáp án Toán lớp 12
Tích phân của f từ a đến b là ∫ₐᵇ f(x)dx = F(b) − F(a) với F là một nguyên hàm của f (công thức Newton - Leibniz). Ý nghĩa hình học là diện tích hình thang cong, cách tính tích phân cơ bản, ví dụ và bài tập có đáp án Toán 12.
Tích phân là gì?
Tích phân của hàm số $f$ liên tục trên $[a; b]$ là số $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$, trong đó $F$ là một nguyên hàm bất kì của $f$ trên $[a; b]$ (công thức Newton - Leibniz). Kí hiệu $F(b) - F(a) = \left. F(x) \right|_a^b$.
Định nghĩa và cách tính
Ví dụ 1
$\int_0^1 2x\,dx = x^2\Big|_0^1 = 1$; $\int_1^2 3x^2 dx = x^3\Big|_1^2 = 7$.
Ví dụ 2
$\int_0^\pi \sin x\,dx = -\cos x\Big|_0^\pi = 1 + 1 = 2$; $\int_1^e \dfrac{1}{x}dx = \ln x\Big|_1^e = 1$.
Ví dụ 3
$\int_0^1 e^x dx = e - 1$; $\int_0^2 (x + 1)dx = \left(\dfrac{x^2}{2} + x\right)\Big|_0^2 = 4$.
Xem bài: Phương pháp nguyên hàm từng phần
Ý nghĩa hình học
Nếu $f(x) \geq 0$ trên $[a; b]$ thì $\int_a^b f(x)\,dx$ là diện tích hình thang cong giới hạn bởi đồ thị $y = f(x)$, trục $Ox$ và hai đường thẳng $x = a$, $x = b$.
Ví dụ
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi $y = x^2$, trục $Ox$, $x = 0$, $x = 3$: $\int_0^3 x^2 dx = \dfrac{x^3}{3}\Big|_0^3 = 9$.
Xem bài: Tính chất của tích phân
Những lỗi thường gặp
Bài tập thực hành
- Tính $\int_0^2 x^2 dx$.
- Tính $\int_0^{\pi/2} \cos x\,dx$.
- Tính $\int_1^4 \sqrt{x}\,dx$.
- Tính $\int_0^1 (2x + 3)dx$.
- Tính $\int_0^{\ln 2} e^x dx$.
Đáp án
- $\dfrac{8}{3}$.
- $1$.
- $\dfrac{2}{3}x^{3/2}\Big|_1^4 = \dfrac{14}{3}$.
- $(x^2 + 3x)\Big|_0^1 = 4$.
- $e^{\ln 2} - 1 = 1$.
Tổng kết
Bài học liên quan
Bài trước: Phương pháp nguyên hàm từng phần
Bài tiếp theo: Tính chất của tích phân
Xem tất cả bài học chủ điểm Nguyên hàm và tích phân
Câu hỏi thường gặp
Tích phân là gì?
Là $F(b) - F(a)$ với $F$ là nguyên hàm của $f$.
Công thức Newton - Leibniz?
$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$.
Ý nghĩa hình học của tích phân?
Diện tích hình thang cong khi $f \geq 0$.
Có cần hằng số $C$ không?
Không.